Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές εξισώσεις είναι οι εξισώσεις που περιέχουν κάποια τριγωνομετρική συνάρτηση, δηλαδή ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη ή συνεφαπτομένη.

Βασική τριγωνομετρική εξίσωση

Ας πάρουμε την εξίσωση ημ x = 0. Για ποια x ισχύει αυτή η εξίσωση; Πότε το ημίτονο είναι ίσο με μηδέν; Ξεκινάμε κοιτάζοντας τη γραφική παράσταση:

Βλέπουμε ότι το ημ x είναι ίσο με μηδέν αρκετά συχνά. Συγκεκριμένα για τις τιμές −π, 0, π, 2π και πολλές άλλες. Επειδή το ημίτονο είναι περιοδική συνάρτηση, ανάμεσα στις επιμέρους λύσεις της εξίσωσης θα υπάρχουν τακτά διαστήματα – σε αυτή την περίπτωση διαστήματα μήκους π. Γι' αυτό το σύνολο όλων των λύσεων αυτής της εξίσωσης μπορούμε να το γράψουμε ως σύνολο, που το ονομάζουμε R και ορίζουμε ως εξής:

$$R=\{K\cdot \pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Είναι λοιπόν όλα τα K-πολλαπλάσια του αριθμού π, όπου το K είναι ακέραιος αριθμός. Έτσι περιγράψαμε το σύνολο όλων των λύσεων της εξίσωσης ημ x = 0.

Να θυμίσουμε ότι το ημίτονο και το συνημίτονο έχουν σύνολο τιμών το διάστημα [−1, 1], επομένως η εξίσωση ημ x = 2 δεν έχει καμία λύση, γιατί δεν μπορούμε να βρούμε x για το οποίο η παράσταση ημ x να έχει τιμή μεγαλύτερη από ένα. Φυσικά η εξίσωση 3 · ημ x = 2 έχει λύση, γιατί μπορούμε να διαιρέσουμε ολόκληρη την παράσταση με το τρία και στο δεύτερο μέλος θα υπάρχει πια αριθμός μικρότερος από ένα. Θα ψάχναμε τις ρίζες της εξίσωσης ημ x = 2/3.

Υπολογισμός ενός απλού παραδείγματος

Τις απλές τριγωνομετρικές εξισώσεις τις λύνουμε ως εξής: για παράδειγμα από τη γραφική παράσταση ή από τον τριγωνομετρικό κύκλο διαβάζουμε την τιμή τους και βρίσκουμε την περίοδο, που την προσθέτουμε στο αποτέλεσμα. Παράδειγμα: λύσε την εξίσωση

$$\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x=\frac{1}{2}$$

Τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ημίτονο την έχουμε πιο πάνω, οπότε κοιτάμε πότε η καμπύλη έχει τιμή $\frac{1}{2}$. Βρίσκουμε ότι αυτό συμβαίνει στο 1/6π και στο 5/6π. Σε προτρέπω έντονα να μάθεις τις βασικές τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων από τον πίνακα, χωρίς αυτές δεν θα σε βοηθήσει ούτε μια ματιά στη γραφική παράσταση.

Τώρα θα πρέπει να προσδιορίσουμε την περίοδο, για να ξέρουμε πώς θα κατασκευάσουμε το σύνολο όλων των λύσεων. Η συνάρτηση ημίτονο έχει περίοδο 2π – αν κοιτάξεις τη γραφική παράσταση, θα δεις ότι κάθε 2π η συνάρτηση αρχίζει να επαναλαμβάνεται.

Αν λοιπόν μια λύση της εξίσωσης είναι το 1/6π, τότε και κάθε αριθμός 1/6π + 2Kπ, όπου το K είναι ακέραιος αριθμός, πρέπει να είναι λύση της εξίσωσης, γιατί σε αυτό το σημείο η συνάρτηση ημίτονο έχει την ίδια τιμή. Το 2K δηλώνει απλώς ότι θέλουμε μόνο άρτιους ακέραιους. Όταν βάλεις στη θέση του K οποιονδήποτε ακέραιο και τον πολλαπλασιάσεις με το δύο, παίρνεις άρτιο αριθμό. Ακριβώς το ίδιο ισχύει για τη δεύτερη ρίζα, 5/6π. Στα σημεία 5/6π, 5/6π + 14π και 5/6π − 82π η συνάρτηση ημ x έχει την ίδια τιμή, γι' αυτό λύσεις της εξίσωσης θα είναι όλα τα 5/6π + 2Kπ.

Γράφουμε το τελικό σύνολο R, που θα είναι η ένωση των δύο προηγούμενων αποτελεσμάτων:

$$R=\{\frac{1}{6}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{\frac{5}{6}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Γραφικά θα μπορούσαμε να παραστήσουμε τη λύση ως τομή των γραφικών παραστάσεων της συνάρτησης ημ x (κόκκινη γραφική παράσταση) και της συνάρτησης $y=\frac{1}{2}$ (πράσινη γραφική παράσταση).

Αν π.χ. βάζαμε στη θέση του K την τιμή K = 0, θα παίρναμε τις λύσεις:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{1}{6}\pi +2K\pi =\frac{1}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{1}{6}\pi \\ x_2& =& \frac{5}{6}\pi +2K\pi =\frac{5}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{5}{6}\pi \end{array}$$

Δηλαδή x₁ = 1/6π και x₂ = 5/6π. Στο σχήμα αντιστοιχούν τα σημεία B και C, γιατί η συντεταγμένη x τους είναι ακριβώς 1/6π και 5/6π αντίστοιχα. Αν θέταμε K = 1, θα παίρναμε τα σημεία D και E.

Αντικατάσταση

Αν έχουμε σε μια συνάρτηση κάποια πιο σύνθετη παράσταση, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αντικατάσταση. Για παράδειγμα, αν θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση ημ 2x = 1, θέτουμε (κάνουμε αντικατάσταση) a = 2x και στη συνέχεια δουλεύουμε με την εξίσωση στη μορφή ημ a = 1 όπως δείξαμε στην προηγούμενη ενότητα. Η αντικατάσταση γίνεται συνήθως ως εξής: παίρνουμε το όρισμα της συνάρτησης, σε αυτή την περίπτωση 2x, και στη θέση του γράφουμε έναν άλλο άγνωστο. Μπορούμε να τον ονομάσουμε όπως θέλουμε, εδώ διαλέξαμε το όνομα a. Θα μπορούσαμε άνετα να κάνουμε την αντικατάσταση q = 2x ή πορτοκάλι = 2x και μετά να γράψουμε ημ πορτοκάλι = 1.

Η αντικατάσταση απλοποιεί έτσι την παράσταση που υπολογίζουμε. Το ότι η παράσταση a είναι στην πραγματικότητα ίση με 2x, θα το χειριστούμε αργότερα.

Τώρα λοιπόν λύνουμε την εξίσωση ημ a = 1, όπου το a είναι ο άγνωστος. Ψάχνουμε πότε το ημίτονο είναι ίσο με ένα. Βρίσκουμε ότι το ημίτονο είναι ίσο με ένα για την τιμή π/2 + 2Kπ. Οι ρίζες της εξίσωσης ημ a = 1 είναι επομένως οι τιμές του συνόλου

$$R=\{\frac{\pi }{2}+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}.$$

Στο τέλος πρέπει ακόμη να θυμηθούμε την αντικατάστασή μας – πρέπει να την επαναφέρουμε. Ξέρουμε ότι λύσεις της εξίσωσης ημ a = 1 είναι τα στοιχεία του προηγούμενου συνόλου R. Εμείς όμως θέλουμε να βρούμε τη λύση μιας άλλης εξίσωσης, της ημ 2x = 1. Ξέρουμε όμως ότι a = 2x.

Ας δοκιμάσουμε να πάρουμε από το σύνολο λύσεων R μία συγκεκριμένη, για παράδειγμα για K = 1 παίρνουμε τη συγκεκριμένη λύση a = π/2 + 2π. Σε αυτό το σημείο η εξίσωση ημ a = 1 έχει λύση. Επειδή a = 2x, ισχύει ταυτόχρονα ότι 2x = π/2 + 2π (απλώς γράψαμε 2x αντί για a).

Εμάς όμως δεν μας ενδιαφέρει το 2x, μας ενδιαφέρει η τιμή του x, οπότε διαιρούμε ολόκληρη την εξίσωση με το δύο. Έτσι παίρνουμε την εξίσωση x = π/4 + π. Βρήκαμε λοιπόν μία συγκεκριμένη λύση της εξίσωσης ημ 2x = 1.

Αν θέλουμε να βρούμε όλες τις λύσεις, πρέπει να κάνουμε αυτή τη μετατροπή σε όλα τα στοιχεία του συνόλου R. Σχηματίζουμε έτσι την εξίσωση ως εξής:

$$2x=\frac{\pi }{2}+2K\pi$$

και απομονώνουμε το x, που σημαίνει ότι διαιρούμε ολόκληρη την εξίσωση με το δύο:

$$x=\frac{\pi }{4}+K\pi$$

Αυτή είναι η τελική λύση. Την γράφουμε ακόμη ως σύνολο, ως νέο σύνολο R':

$$R^{\prime }=\{\frac{\pi }{4}+K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Την ορθότητα της λύσης μπορούμε πάλι να την επαληθεύσουμε γραφικά. Με κόκκινο είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ημ 2x και με πράσινο της συνάρτησης y = 1.

Αν βάλουμε στη θέση του K την τιμή K = 0, παίρνουμε x = π/4, που παριστάνει το σημείο C. Αν θέσουμε K = 2, παίρνουμε x = π/4 + 2π, που παριστάνει το σημείο E.

Τύποι

Στον υπολογισμό τριγωνομετρικών εξισώσεων χρησιμοποιούνται συχνά διάφοροι τύποι, που καλό είναι να τους ξέρεις. Μερικοί είναι βασικοί, άλλοι πιο σύνθετοι. Οι τριγωνομετρικοί τύποι μεταφέρθηκαν σε δική τους σελίδα, οπότε ρίξε μια ματιά εκεί.

Παραδείγματα

1. Λύσε την εξίσωση ημ (3x − π/2) = 0.

   Χρησιμοποιούμε μια απλή αντικατάσταση a = 3x − π/2 και λύνουμε την εξίσωση ημ a = 0. Ήδη ξέρουμε ότι το ημίτονο είναι ίσο με μηδέν για a = Kπ. Επαναφέρουμε λοιπόν την αντικατάσταση και λύνουμε την εξίσωση:

   $$3x-\frac{\pi }{2}=K\pi$$

   Πρώτα μεταφέρουμε το π/2 στο δεύτερο μέλος, δηλαδή προσθέτουμε στην εξίσωση π/2:

   $$3x=K\pi +\frac{\pi }{2}$$

   Και τώρα διαιρούμε την εξίσωση με το τρία:

   $$x=\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$$

   Το αποτέλεσμα είναι λοιπόν το σύνολο R₁, που ορίζεται ως εξής:

   $$R_1=\{\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}|K\in \mathbb{Z}\}$$

   Πάλι ένα σχήμα:

   

   Για K = 1 παίρνουμε x = π/3 + π/6 = π/2, δηλαδή το σημείο E.

2. Λύσε την εξίσωση συν² x − ημ x = 1.

   Πρώτα χρησιμοποιούμε τύπους και αναλύουμε το συν² x σε 1 − ημ² x. Αντικαθιστούμε πίσω στην εξίσωση και παίρνουμε:

   $$\begin{array}{rcl}1-{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }}^{2}x-\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x& =& 1\\ {\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }}^{2}x+\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x& =& 0\end{array}$$

   Τώρα βγάζουμε κοινό παράγοντα το ημ x:

   $$\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x(\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(x)+1)=0$$

   Επειδή φέραμε το πρώτο μέλος της εξίσωσης σε μορφή γινομένου και στο δεύτερο μέλος έχουμε μηδέν, θα λύσουμε χωριστά τις εξισώσεις ημ x = 0 και ημ(x) + 1 = 0, γιατί ολόκληρο το πρώτο μέλος θα είναι μηδέν, αν είναι μηδέν τουλάχιστον ένας παράγοντας.

   Την εξίσωση ημ x = 0 την έχουμε ήδη λύσει αρκετές φορές, λύσεις είναι τα x της μορφής Kπ, όπου το K είναι ακέραιος αριθμός.

   Τη δεύτερη εξίσωση, ημ(x) + 1 = 0, τη μετατρέπουμε στην εξίσωση ημ(x) = −1. Το ημίτονο είναι ίσο με μείον ένα για τις τιμές 3/2π + 2Kπ.

   Όλα τα στοιχεία του τελικού συνόλου R₂ τα παίρνουμε τότε με ένωση.

   $$R_2=\{\frac{3}{2}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

   Σχήμα:

   

   Βλέπουμε ότι τα σημεία A, C, D και F έχουν συντεταγμένη x πολλαπλάσιο του π, επομένως αυτά τα σημεία τα περιγράφει το δεξί σύνολο στην προηγούμενη ένωση. Και αν στο αριστερό σύνολο της ένωσης βάλουμε στη θέση του K την τιμή K = 0, παίρνουμε x = 3π/2, που αντιστοιχεί στο σημείο E, ενώ αν θέσουμε K = −1, παίρνουμε x = 3π/2 − 2π = −π/2, που αντιστοιχεί στο σημείο B.

3. Λύσε την εξίσωση συν² x − ημ² x + συν x = 0.

   Στο πρώτο βήμα εφαρμόζουμε τον τύπο ημ² x = 1 − συν² x και αναλύουμε το ημίτονο στο τετράγωνο:

   $$\begin{array}{r}{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }}^{2}x-(1-{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }}^{2}x)+\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x=0\\ {\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }}^{2}x-1+{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }}^{2}x+\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x=0\end{array}$$

   Στο επόμενο βήμα κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων:

   $$2{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }}^{2}x+\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x-1=0$$

   Και τέλος κάνουμε την αντικατάσταση a = συν x.

   $$2a^2+a-1=0$$

   Αυτήν πια τη λύνουμε ως απλή εξίσωση δευτέρου βαθμού. Αποτελέσματα:

   $$a_1=-1,a_2=\frac{1}{2}$$

   Στο τέλος επαναφέρουμε την αντικατάσταση και λύνουμε το ζεύγος εξισώσεων συν x = −1 και $\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x=\frac{1}{2}$ και ενώνουμε τα σύνολα που προκύπτουν. Αυτό είναι πια απλό και το έχουμε λύσει πιο πάνω.

4. Λύσε την εξίσωση ημ² x − συν² x = 1.

   Πρώτα εφαρμόζουμε τον κλασικό τύπο και εκφράζουμε το συνημίτονο με τη βοήθεια του ημιτόνου. Παίρνουμε:

   $$2{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }}^{2}x=2$$

   Διαιρούμε με το δύο και αφαιρούμε το ένα:

   $${\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }}^{2}x-1=0$$

   Τώρα εφαρμόζουμε τον τύπο a² − b² = (a − b)(a + b):

   $$(\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(x)-1)\cdot (\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(x)+1)=0$$

   Το γινόμενο δύο παραστάσεων είναι μηδέν, όταν τουλάχιστον μία από τις παραστάσεις είναι μηδέν. Πότε ισχύει ημ x = 1 και ημ x = −1 το ξέρουμε ήδη. Λύση της τριγωνομετρικής εξίσωσης είναι:

   $$R_4=\{\pi /2+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{3\pi /2+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}=\{\pi /2+K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

   Σχήμα: