Goniometrische vergelijkingen

Goniometrische vergelijkingen zijn vergelijkingen die een goniometrische functie bevatten, dus sinus, cosinus, tangens of cotangens.

De basisvergelijking

We hebben de vergelijking sin x = 0. Voor welke x klopt deze vergelijking? Wanneer is de sinus gelijk aan nul? We beginnen met naar de grafiek te kijken:

We zien dat sin x vrij vaak gelijk is aan nul. Namelijk voor de waarden −π, 0, π, 2π en vele andere. Omdat de sinus een periodieke functie is, zitten er tussen de afzonderlijke oplossingen van de vergelijking regelmatige intervallen, in dit geval met een lengte van π. Daarom kunnen we de verzameling van alle oplossingen van deze vergelijking opschrijven als een verzameling, laten we haar R noemen, die we zo definiëren:

$$R=\{k\cdot \pi |k\in \mathbb{Z}\}$$

Dat zijn dus alle k-vouden van het getal pi, waarbij k een geheel getal is. Daarmee hebben we de verzameling van alle oplossingen van de vergelijking sin x = 0 beschreven.

We herinneren eraan dat de sinus en de cosinus als bereik het interval [−1, 1] hebben, dus de vergelijking sin x = 2 heeft geen enkele oplossing, want we kunnen geen x vinden waarvoor de uitdrukking sin x een waarde groter dan één heeft. De vergelijking 3 · sin x = 2 heeft natuurlijk wel een oplossing, want we kunnen de hele uitdrukking door drie delen en dan staat er aan de rechterkant een getal kleiner dan één. We zouden dan de oplossingen van de vergelijking sin x = 2/3 zoeken.

Een eenvoudig voorbeeld uitrekenen

Eenvoudige goniometrische vergelijkingen lossen we op door bijvoorbeeld uit de grafiek of uit de eenheidscirkel hun waarde af te lezen en de periode te bepalen, die we bij de oplossing optellen. Een voorbeeld, los de vergelijking op

$$\sin x=\frac{1}{2}$$

De grafiek van de functie sinus hebben we hierboven, dus we kijken wanneer de kromme de waarde $\frac{1}{2}$ heeft. We zien dat dat bij 1/6π en 5/6π het geval is. Ik raad je dringend aan de exacte waarden van goniometrische functies te leren, zonder die helpt zelfs een blik op de grafiek je niet.

Nu moeten we de periode bepalen, zodat we weten hoe we de verzameling van alle oplossingen construeren. De functie sinus heeft periode 2π: als je naar de grafiek kijkt, zie je dat de functie zich telkens na 2π begint te herhalen.

Als een oplossing van de vergelijking dus 1/6π is, dan moet ook elk getal 1/6π + 2kπ, waarbij k een geheel getal is, een oplossing van de vergelijking zijn, omdat de functie sinus op die plaats dezelfde functiewaarde heeft. Die 2k geeft alleen aan dat we alleen even gehele getallen willen. Als je voor k een willekeurig geheel getal invult en met twee vermenigvuldigt, krijg je een even getal. Precies hetzelfde geldt voor de tweede oplossing, 5/6π. In de punten 5/6π, 5/6π + 14π en 5/6π − 82π heeft de functie sin x dezelfde functiewaarde, daarom zijn alle 5/6π + 2kπ oplossingen van de vergelijking.

We schrijven de uiteindelijke verzameling R op, die de vereniging is van beide vorige resultaten:

$$R=\{\frac{1}{6}\pi +2k\pi |k\in \mathbb{Z}\}\cup \{\frac{5}{6}\pi +2k\pi |k\in \mathbb{Z}\}$$

Grafisch zouden we de oplossing kunnen weergeven als de snijpunten van de grafieken van de functie sin x (rode grafiek) en de functie $y=\frac{1}{2}$ (groene grafiek).

Als we bijvoorbeeld voor k invullen k = 0, krijgen we de oplossingen:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{1}{6}\pi +2k\pi =\frac{1}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{1}{6}\pi \\ x_2& =& \frac{5}{6}\pi +2k\pi =\frac{5}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{5}{6}\pi \end{array}$$

Dus x₁ = 1/6π en x₂ = 5/6π. Op de figuur komen daarmee de punten B en C overeen, want hun x-coördinaat is precies 1/6π, respectievelijk 5/6π. Als we k = 1 zouden invullen, zouden we de punten D en E krijgen.

Substitutie

Als we in de functie een ingewikkeldere uitdrukking hebben, kunnen we een substitutie gebruiken, oftewel vervanging. Als we bijvoorbeeld de oplossing van de vergelijking sin 2x = 1 willen berekenen, vervangen we (we voeren een substitutie uit) a = 2x en rekenen verder met de vergelijking in de vorm sin a = 1, net zoals we in het vorige onderdeel hebben laten zien. Een substitutie verloopt meestal zo dat we het argument van de functie nemen, in dit geval 2x, en in plaats daarvan een andere onbekende schrijven. We kunnen die helemaal naar believen noemen, hier hebben we de naam a gekozen. We hadden gerust de substitutie q = 2x kunnen uitvoeren of sinaasappel = 2x en dan sin sinaasappel = 1 kunnen schrijven.

De substitutie vereenvoudigt dus de uitdrukking die we net aan het uitrekenen zijn. Dat de uitdrukking a in werkelijkheid gelijk is aan 2x, regelen we later.

Nu lossen we dus de vergelijking sin a = 1 op, waarbij a de onbekende is. We zoeken dus wanneer de sinus gelijk is aan één. We vinden dat de sinus gelijk is aan één bij de waarde π/2 + 2kπ. De oplossingen van de vergelijking sin a = 1 zijn dus de waarden van de verzameling

$$R=\{\frac{\pi }{2}+2k\pi |k\in \mathbb{Z}\}.$$

Tot slot moeten we nog aan onze substitutie denken: we moeten die terugdraaien. We weten dat de oplossingen van de vergelijking sin a = 1 de elementen van de vorige verzameling R zijn. Maar wij willen de oplossing van een andere vergelijking weten, sin 2x = 1. Daarbij weten we echter dat a = 2x.

We proberen uit de oplossingenverzameling R één concrete oplossing te nemen, bijvoorbeeld voor k = 1 krijgen we de concrete oplossing a = π/2 + 2π. In dit punt heeft de vergelijking sin a = 1 een oplossing. Omdat a = 2x, geldt tegelijk dat 2x = π/2 + 2π (we hebben alleen in plaats van a het getal 2x geschreven).

Ons interesseert echter niet 2x, ons interesseert de waarde van x, dus we delen de hele vergelijking door twee. Zo krijgen we de vergelijking x = π/4 + π. We hebben dus één concrete oplossing van de vergelijking sin 2x = 1 gekregen.

Als we alle oplossingen willen krijgen, moeten we deze bewerking uitvoeren met alle elementen van de verzameling R. We stellen dus de vergelijking zo op:

$$2x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$$

en we maken x vrij, wat betekent dat we de hele vergelijking door twee delen:

$$x=\frac{\pi }{4}+k\pi$$

Dat is de uiteindelijke oplossing. Die schrijven we nog op als verzameling, als nieuwe verzameling R':

$$R^{\prime }=\{\frac{\pi }{4}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\}$$

De juistheid van de oplossing kunnen we weer grafisch controleren. In het rood is de grafiek van de functie sin 2x en in het groen de functie y = 1.

Als we voor k invullen k = 0, krijgen we x = π/4, wat het punt C voorstelt. Als we k = 2 invullen, krijgen we x = π/4 + 2π, wat het punt E voorstelt.

Formules

Bij het rekenen met goniometrische vergelijkingen worden vaak allerlei formules gebruikt die je zou moeten kennen. Sommige zijn basaal, andere zijn al ingewikkelder. De goniometrische formules zijn naar een eigen pagina verhuisd, dus kijk daar even.

Voorbeelden

1. Los de vergelijking sin(3x − π/2) = 0 op.

   We gebruiken een eenvoudige substitutie a = 3x − π/2 en lossen de vergelijking sin a = 0 op. We weten al dat de sinus gelijk is aan nul voor a = kπ. We vullen de substitutie dus weer terug in en berekenen de vergelijking:

   $$3x-\frac{\pi }{2}=k\pi$$

   Eerst brengen we π/2 naar de rechterkant, dus we tellen bij de vergelijking π/2 op:

   $$3x=k\pi +\frac{\pi }{2}$$

   En nu delen we de vergelijking door drie:

   $$x=\frac{k\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$$

   De oplossing is dus de verzameling R₁, die zo is gedefinieerd:

   $$R_1=\{\frac{k\pi }{3}+\frac{\pi }{6}|k\in \mathbb{Z}\}$$

   Weer een figuur:

   

   Voor k = 1 krijgen we x = π/3 + π/6 = π/2, dus het punt E.

2. Los de vergelijking cos²x − sin x = 1 op.

   Eerst gebruiken we formules en schrijven we cos² x als 1 − sin² x. We vullen dat terug in de vergelijking in en krijgen:

   $$\begin{array}{rcl}1-{\sin }^{2}x-\sin x& =& 1\\ {\sin }^{2}x+\sin x& =& 0\end{array}$$

   Nu brengen we sin x buiten haakjes:

   $$\sin x(\sin (x)+1)=0$$

   Omdat we de linkerkant van de vergelijking in de vorm van een product hebben gebracht en aan de rechterkant nul hebben, lossen we de vergelijkingen sin x = 0 en sin(x) + 1 = 0 apart op, want de hele linkerkant is nul als minstens één factor nul is (product-nulregel).

   De vergelijking sin x = 0 hebben we al een paar keer opgelost, de oplossingen zijn x van de vorm kπ, waarbij k een geheel getal is.

   De tweede vergelijking, sin(x) + 1 = 0, herleiden we tot de vergelijking sin(x) = −1. De sinus is gelijk aan min één voor de waarden 3/2π + 2kπ.

   Alle elementen van de uiteindelijke verzameling R₂ krijgen we dan door de vereniging.

   $$R_2=\{\frac{3}{2}\pi +2k\pi |k\in \mathbb{Z}\}\cup \{k\pi |k\in \mathbb{Z}\}$$

   Figuur:

   

   We zien dat de punten A, C, D en F als x-coördinaat een veelvoud van π hebben, dus deze punten worden beschreven door de rechterverzameling in de vorige vereniging. En als we in de linkerverzameling in de vereniging voor k de waarde k = 0 invullen, krijgen we x = 3π/2, wat overeenkomt met het punt E, als we k = −1 invullen, krijgen we x = 3π/2 − 2π = −π/2, wat overeenkomt met het punt B.

3. Bereken de vergelijking cos² x − sin²x + cos x = 0.

   In de eerste stap passen we de formule sin²x = 1 − cos²x toe en schrijven we de sinus in het kwadraat anders:

   $$\begin{array}{r}{\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x)+\cos x=0\\ {\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x+\cos x=0\end{array}$$

   In de volgende stap tellen we het bij elkaar op:

   $$2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$$

   En tot slot voeren we de substitutie a = cos x uit.

   $$2a^2+a-1=0$$

   Dit lossen we al op als een gewone kwadratische vergelijking. De uitkomsten:

   $$a_1=-1,a_2=\frac{1}{2}$$

   Tot slot zetten we de substitutie terug en lossen we het paar vergelijkingen cos x = −1 en $\cos x=\frac{1}{2}$ op en voegen we de verkregen verzamelingen samen tot een vereniging. Dat is al eenvoudig en dat hebben we hierboven al gedaan.

4. Los de vergelijking sin²x − cos²x = 1 op.

   Eerst passen we de klassieke formule toe en drukken we de cosinus uit in de sinus. We krijgen:

   $$2{\sin }^{2}x=2$$

   We delen door twee en trekken één af:

   $${\sin }^{2}x-1=0$$

   Nu passen we de formule a² − b² = (a − b)(a + b) toe:

   $$(\sin (x)-1)\cdot (\sin (x)+1)=0$$

   Een product van twee uitdrukkingen is nul als minstens een van de uitdrukkingen nul is. Wanneer sin x = 1 en sin x = −1 weten we al. De oplossing van de goniometrische vergelijking is:

   $$R_4=\{\pi /2+2k\pi |k\in \mathbb{Z}\}\cup \{3\pi /2+2k\pi |k\in \mathbb{Z}\}=\{\pi /2+k\pi |k\in \mathbb{Z}\}$$

   Figuur: