Trigonometrikus egyenletek

A trigonometrikus egyenletek olyan egyenletek, amelyek valamilyen szögfüggvényt tartalmaznak, vagyis szinuszt, koszinuszt, tangenst vagy kotangenst.

Az alap trigonometrikus egyenlet

Legyen adott a sin x = 0 egyenlet. Mely x értékekre teljesül? Mikor egyenlő a szinusz nullával? Kezdjük azzal, hogy megnézzük a grafikont:

Azt találjuk, hogy a sin x elég gyakran egyenlő nullával. Konkrétan a −π, 0, π, 2π értékekre és még sok másikra. Mivel a szinusz periodikus függvény, az egyes megoldások között szabályos távolságok lesznek – ebben az esetben π hosszúságúak. Ezért az egyenlet összes megoldásának halmazát felírhatjuk halmazként, jelöljük R-rel, amelyet így definiálunk:

$$R=\{k\cdot \pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$$

Ezek tehát a pí szám összes k-szorosai, ahol k egész szám. Ezzel leírtuk a sin x = 0 egyenlet összes megoldásának halmazát.

Emlékeztetőül: a szinusz és a koszinusz értékkészlete a [−1; 1] intervallum, tehát a sin x = 2 egyenletnek nincs megoldása, mert nem tudunk olyan x értéket találni, amelyre a sin x kifejezés értéke egynél nagyobb lenne. A 3 · sin x = 2 egyenletnek viszont már van megoldása, mert az egész kifejezést oszthatjuk hárommal, és a jobb oldalon már egynél kisebb szám áll. A sin x = 2/3 egyenlet gyökeit keresnénk.

Egyszerű példa megoldása

Az egyszerű trigonometrikus egyenleteket úgy oldjuk meg, hogy például a grafikonról vagy az egységkörről leolvassuk az értéküket, megállapítjuk a periódust, és azt hozzáadjuk az eredményhez. Példa: oldjuk meg az

$$\sin x=\frac{1}{2}$$

egyenletet. A szinuszfüggvény grafikonja fent van, ezért megnézzük, mikor $\frac{1}{2}$ a görbe értéke. Azt találjuk, hogy ez az 1/6π és az 5/6π esetében van. Nyomatékosan javaslom, hogy tanuld meg a szögfüggvények alapvető táblázatos értékeit, nélkülük a grafikonra pillantás sem segít.

Most meg kell határoznunk a periódust, hogy tudjuk, hogyan szerkesszük meg az összes megoldás halmazát. A szinuszfüggvény periódusa 2π – ha megnézed a grafikont, látod, hogy a függvény mindig 2π után kezd ismétlődni.

Ha tehát az egyenlet egyik megoldása 1/6π, akkor bármelyik 1/6π + 2kπ szám is megoldás kell, hogy legyen, ahol k egész szám, mert ezen a helyen a szinuszfüggvény ugyanazt a függvényértéket veszi fel. A 2k csak azt jelzi, hogy páros egész számokat akarunk. Ha k helyére bármilyen egész számot írsz, és megszorzod kettővel, páros számot kapsz. Ugyanez igaz a másik gyökre, az 5/6π értékre is. Az 5/6π, 5/6π + 14π és 5/6π − 82π helyeken a sin x függvény ugyanazt a függvényértéket veszi fel, ezért az egyenlet megoldása az összes 5/6π + 2kπ szám.

Felírjuk a végső R halmazt, amely az előző két eredmény uniója lesz:

$$R=\{\frac{1}{6}\pi +2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}\cup \{\frac{5}{6}\pi +2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$$

Grafikusan a megoldást a sin x függvény (piros grafikon) és az $y=\frac{1}{2}$ függvény (zöld grafikon) metszéspontjaiként ábrázolhatnánk.

Ha például k helyére a k = 0 értéket helyettesítenénk, ezt a megoldást kapnánk:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{1}{6}\pi +2k\pi =\frac{1}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{1}{6}\pi \\ x_2& =& \frac{5}{6}\pi +2k\pi =\frac{5}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{5}{6}\pi \end{array}$$

Tehát x₁ = 1/6π és x₂ = 5/6π. Az ábrán ennek a B és a C pont felel meg, mert az x koordinátájuk éppen 1/6π, illetve 5/6π. Ha a k = 1 értéket helyettesítenénk, a D és az E pontot kapnánk.

Új ismeretlen bevezetése

Ha a függvényben valamilyen bonyolultabb kifejezés áll, új ismeretlent, vagyis helyettesítést használhatunk. Ha például a sin 2x = 1 egyenletet akarjuk megoldani, helyettesítjük (új ismeretlent vezetünk be) az a = 2x jelöléssel, és a továbbiakban a sin a = 1 alakú egyenlettel számolunk, ugyanúgy, ahogy az előző fejezetben megmutattuk. A helyettesítés rendszerint úgy történik, hogy vesszük a függvény argumentumát, ebben az esetben a 2x kifejezést, és a helyére írunk egy másik ismeretlent. Elnevezhetjük akárhogy, itt az a nevet választottuk. Akár a q = 2x vagy a narancs = 2x helyettesítést is elvégezhetnénk, és akkor azt írnánk, hogy sinnarancs = 1.

A helyettesítés tehát leegyszerűsíti a kifejezést, amellyel éppen számolunk. Azzal, hogy az a kifejezés valójában 2x, később számolunk el.

Most tehát a sin a = 1 egyenletet oldjuk meg, ahol a az ismeretlen. Azt keressük, mikor egyenlő a szinusz eggyel. Azt kapjuk, hogy a szinusz a π/2 + 2kπ értéknél egyenlő eggyel. A sin a = 1 egyenlet gyökei tehát a következő halmaz elemei:

$$R=\{\frac{\pi }{2}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}.$$

Végül még emlékeznünk kell a helyettesítésünkre – vissza kell helyettesítenünk. Tudjuk, hogy a sin a = 1 egyenlet megoldásai az előző R halmaz elemei. Csakhogy mi egy másik egyenlet, a sin 2x = 1 megoldását akarjuk ismerni. Ugyanakkor tudjuk, hogy a = 2x.

Próbáljunk kivenni az R megoldáshalmazból egy konkrét megoldást, például a k = 1 esetén kapjuk az a = π/2 + 2π konkrét megoldást. Ebben a pontban a sin a = 1 egyenletnek van megoldása. Mivel a = 2x, egyúttal az is igaz, hogy 2x = π/2 + 2π (csak az a helyére a 2x kifejezést írtunk).

Minket viszont nem a 2x érdekel, hanem az x értéke, ezért az egész egyenletet elosztjuk kettővel. Így megkapjuk az x = π/4 + π egyenletet. Kaptunk tehát egy konkrét megoldást a sin 2x = 1 egyenletre.

Ha az összes megoldást meg akarjuk kapni, ezt az átalakítást az R halmaz összes elemével el kell végeznünk. Felírjuk tehát az egyenletet így:

$$2x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$$

és kifejezzük az x-et, vagyis az egész egyenletet elosztjuk kettővel:

$$x=\frac{\pi }{4}+k\pi$$

Ez a végső megoldás. Még felírjuk halmazként, új R' halmazként:

$$R^{\prime }=\{\frac{\pi }{4}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$$

A megoldás helyességét ismét ellenőrizhetjük grafikusan. Pirossal a sin 2x függvény grafikonja, zölddel az y = 1 függvény látható.

Ha k helyére a k = 0 értéket írjuk, megkapjuk az x = π/4 értéket, ami a C pontot jelenti. Ha a k = 2 értéket írjuk, megkapjuk az x = π/4 + 2π értéket, ami az E pontot jelenti.

Képletek

A trigonometrikus egyenletek megoldásakor gyakran használunk különféle képleteket, amelyeket érdemes tudnod. Némelyik alapvető, mások már bonyolultabbak. A szögfüggvények képletei külön oldalra költöztek, nézd meg ott.

Példák

1. Oldd meg a sin(3x − π/2) = 0 egyenletet.

   Egyszerű helyettesítést használunk, a = 3x − π/2, és megoldjuk a sin a = 0 egyenletet. Már tudjuk, hogy a szinusz az a = kπ értékekre egyenlő nullával. Visszahelyettesítjük az új ismeretlent, és megoldjuk az egyenletet:

   $$3x-\frac{\pi }{2}=k\pi$$

   Először átvisszük a π/2 tagot a jobb oldalra, vagyis az egyenlethez hozzáadjuk a π/2 értéket:

   $$3x=k\pi +\frac{\pi }{2}$$

   Most pedig az egyenletet elosztjuk hárommal:

   $$x=\frac{k\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$$

   Az eredmény tehát az R₁ halmaz, amelyet így definiálunk:

   $$R_1=\{\frac{k\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\mid k\in \mathbb{Z}\}$$

   Megint egy ábra:

   

   A k = 1 esetén x = π/3 + π/6 = π/2 adódik, vagyis az E pont.

2. Oldd meg a cos²x − sin x = 1 egyenletet.

   Először felhasználjuk a képletet, és a cos² x kifejezést átírjuk 1 − sin² x alakba. Visszahelyettesítjük az egyenletbe, és ezt kapjuk:

   $$\begin{array}{rcl}1-{\sin }^{2}x-\sin x& =& 1\\ {\sin }^{2}x+\sin x& =& 0\end{array}$$

   Most kiemeljük a sin x kifejezést:

   $$\sin x(\sin (x)+1)=0$$

   Mivel az egyenlet bal oldalát szorzat alakra hoztuk, a jobb oldalon pedig nulla áll, külön oldjuk meg a sin x = 0 és a sin(x) + 1 = 0 egyenletet, mert az egész bal oldal akkor nulla, ha legalább az egyik tényező nulla.

   A sin x = 0 egyenletet már többször megoldottuk, a megoldások kπ alakú x értékek, ahol k egész szám.

   A második egyenletet, a sin(x) + 1 = 0 egyenletet átalakítjuk sin(x) = −1 alakra. A szinusz mínusz eggyel egyenlő a 3/2π + 2kπ értékeknél.

   Az R₂ eredményhalmaz összes elemét az unióval kapjuk meg.

   $$R_2=\{\frac{3}{2}\pi +2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}\cup \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$$

   Ábra:

   

   Látjuk, hogy az A, C, D és F pont x koordinátája a π többszöröse, ezért ezeket a pontokat az előző unióban a jobb oldali halmaz írja le. Ha pedig az unióban a bal oldali halmazban k helyére a k = 0 értéket helyettesítjük, az x = 3π/2 értéket kapjuk, ami az E pontnak felel meg, ha a k = −1 értéket helyettesítjük, az x = 3π/2 − 2π = −π/2 értéket kapjuk, ami a B pontnak felel meg.

3. Oldd meg a cos² x − sin²x + cos x = 0 egyenletet.

   Az első lépésben alkalmazzuk a sin²x = 1 − cos²x képletet, és átírjuk a szinusz négyzetét:

   $$\begin{array}{r}{\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x)+\cos x=0\\ {\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x+\cos x=0\end{array}$$

   A következő lépésben összevonjuk:

   $$2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$$

   Végül bevezetjük az a = cos x jelölést.

   $$2a^2+a-1=0$$

   Ezt már egyszerű másodfokú egyenletként megoldjuk. Az eredmények:

   $$a_1=-1,a_2=\frac{1}{2}$$

   Végül visszahelyettesítünk, megoldjuk a cos x = −1 és a $\cos x=\frac{1}{2}$ egyenletpárt, és az eredményül kapott halmazokat egyesítjük. Ez már egyszerű, és fentebb már megoldottuk.

4. Oldd meg a sin²x − cos²x = 1 egyenletet.

   Először alkalmazzuk a klasszikus képletet, és a koszinuszt kifejezzük a szinusszal. Ezt kapjuk:

   $$2{\sin }^{2}x=2$$

   Elosztjuk kettővel, és kivonunk egyet:

   $${\sin }^{2}x-1=0$$

   Most alkalmazzuk az a² − b² = (a − b)(a + b) képletet:

   $$(\sin (x)-1)\cdot (\sin (x)+1)=0$$

   Két kifejezés szorzata akkor nulla, ha legalább az egyik kifejezés nulla. Azt, hogy mikor sin x = 1 és sin x = −1, már tudjuk. A trigonometrikus egyenlet megoldása:

   $$R_4=\{\pi /2+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}\cup \{3\pi /2+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}=\{\pi /2+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$$

   Ábra: