Trigonometriske likninger

Trigonometriske likninger er likninger som inneholder en trigonometrisk funksjon, altså sinus, cosinus, tangens eller cotangens.

Enkel trigonometrisk likning

La oss ta likningen sin x = 0. For hvilke x gjelder denne likningen? Når er sinus lik null? Vi begynner med å se på grafen:

Vi finner at sin x er lik null ganske ofte. Nærmere bestemt for verdiene −π, 0, π, 2π og mange andre. Siden sinus er en periodisk funksjon, vil det være regelmessige avstander mellom de enkelte løsningene av likningen — i dette tilfellet intervaller med lengde π. Derfor kan vi skrive mengden av alle løsninger av denne likningen som en mengde, la oss kalle den L, som vi definerer slik:

$$L=\{K\cdot \pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Det er altså alle K-multipler av tallet pi, der K er et helt tall. Dermed har vi beskrevet mengden av alle løsninger av likningen sin x = 0.

Husk at sinus og cosinus har verdimengde i intervallet [−1, 1], så likningen sin x = 2 har ingen løsning, fordi vi ikke kan finne noe x som gir uttrykket sin x en verdi større enn én. Selvfølgelig har likningen 3 · sin x = 2 en løsning, for vi kan dele hele uttrykket på tre, og da står det på høyre side et tall som er mindre enn én. Vi ville lete etter løsningene av likningen sin x = 2/3.

Utregning av et enkelt eksempel

Enkle trigonometriske likninger løser vi ved for eksempel å lese av verdien fra grafen eller fra enhetssirkelen og finne perioden, som vi legger til resultatet. Eksempel, løs likningen

$$\sin x=\frac{1}{2}$$

Grafen til sinusfunksjonen har vi ovenfor, så vi ser etter når kurven har verdien $\frac{1}{2}$. Vi finner at det er tilfellet for 1/6π og 5/6π. Jeg anbefaler på det sterkeste at du lærer deg de grunnleggende tabellverdiene for trigonometriske funksjoner, uten dem hjelper det deg ikke engang å kikke på grafen.

Nå må vi bestemme perioden, for å vite hvordan vi skal konstruere mengden av alle løsninger. Sinusfunksjonen har perioden 2π — hvis du ser på grafen, ser du at funksjonen alltid begynner å gjenta seg etter 2π.

Hvis én løsning av likningen er 1/6π, må også et hvilket som helst tall 1/6π + 2Kπ, der K er et helt tall, være en løsning av likningen, fordi sinusfunksjonen har den samme funksjonsverdien i dette punktet. Det 2K betyr bare at vi vil ha partall. Når du setter inn et hvilket som helst helt tall for K og ganger det med to, får du et partall. Akkurat det samme for den andre løsningen, 5/6π. I punktene 5/6π, 5/6π + 14π og 5/6π − 82π har funksjonen sin x den samme funksjonsverdien, så løsningene av likningen blir alle 5/6π + 2Kπ.

Vi skriver opp den endelige mengden L, som blir unionen av de to forrige resultatene:

$$L=\{\frac{1}{6}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{\frac{5}{6}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Grafisk kunne vi framstille løsningen som skjæringen mellom grafene til funksjonen sin x (den røde grafen) og funksjonen $y=\frac{1}{2}$ (den grønne grafen).

Hvis vi for eksempel satte inn K = 0 for K, ville vi fått løsningene:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{1}{6}\pi +2K\pi =\frac{1}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{1}{6}\pi \\ x_2& =& \frac{5}{6}\pi +2K\pi =\frac{5}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{5}{6}\pi \end{array}$$

Altså x₁ = 1/6π og x₂ = 5/6π. På bildet svarer det til punktene B og C, fordi førstekoordinaten deres er nøyaktig 1/6π, henholdsvis 5/6π. Hvis vi satte inn K = 1, ville vi fått punktene D og E.

Substitusjon

Hvis vi har et mer sammensatt uttrykk i funksjonen, kan vi bruke substitusjon, eller med andre ord erstatning. Hvis vi for eksempel vil regne ut løsningen av likningen sin 2x = 1, erstatter vi (gjør en substitusjon) a = 2x og regner videre med en likning på formen sin a = 1, akkurat som vi viste i forrige avsnitt. Substitusjonen foregår vanligvis ved at vi tar argumentet til funksjonen, i dette tilfellet 2x, og i stedet for det skriver en annen ukjent. Vi kan gi den et hvilket som helst navn, her valgte vi navnet a. Vi kunne godt gjort substitusjonen q = 2x eller appelsin = 2x og så skrevet sin appelsin = 1.

Substitusjonen forenkler altså uttrykket vi regner på. At uttrykket a i virkeligheten er lik 2x, tar vi oss av senere.

Nå løser vi altså likningen sin a = 1, der a er den ukjente. Vi leter etter når sinus er lik én. Vi finner at sinus er lik én for verdien π/2 + 2Kπ. Løsningene av likningen sin a = 1 er altså verdiene i mengden

$$L=\{\frac{\pi }{2}+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}.$$

Til slutt må vi huske substitusjonen vår — vi må gå tilbake til den opprinnelige variabelen. Vi vet at løsningene av likningen sin a = 1 er elementene i den forrige mengden L. Men vi vil kjenne løsningene av en annen likning, sin 2x = 1. Samtidig vet vi at a = 2x.

Vi prøver å ta én konkret løsning fra løsningsmengden L, for eksempel får vi for K = 1 den konkrete løsningen a = π/2 + 2π. I dette punktet har likningen sin a = 1 en løsning. Siden a = 2x, gjelder samtidig at 2x = π/2 + 2π (vi skrev bare 2x i stedet for a).

Men vi er ikke interessert i 2x, vi er interessert i verdien av x, så vi deler hele likningen på to. Da får vi likningen x = π/4 + π. Vi har dermed funnet én konkret løsning av likningen sin 2x = 1.

Hvis vi vil ha alle løsningene, må vi gjøre denne omformingen med alle elementene i mengden L. Vi setter altså opp likningen slik:

$$2x=\frac{\pi }{2}+2K\pi$$

og isolerer x, noe som betyr at vi deler hele likningen på to:

$$x=\frac{\pi }{4}+K\pi$$

Det er den endelige løsningen. Den skriver vi også som en mengde, en ny mengde L':

$$L^{\prime }=\{\frac{\pi }{4}+K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Riktigheten av løsningen kan vi igjen kontrollere grafisk. Rødt er grafen til funksjonen sin 2x og grønt funksjonen y = 1.

Hvis vi setter inn K = 0 for K, får vi x = π/4, som er punktet C. Hvis vi setter inn K = 2 for K, får vi x = π/4 + 2π, som er punktet E.

Formler

Når vi regner med trigonometriske likninger, bruker vi ofte ulike formler som du bør kunne. Noen er grunnleggende, andre er mer sammensatte. De trigonometriske formlene har flyttet til sin egen side, så ta en titt der.

Eksempler

1. Løs likningen sin(3x − π/2) = 0.

   Vi bruker den enkle substitusjonen a = 3x − π/2 og løser likningen sin a = 0. Vi vet allerede at sinus er lik null for a = Kπ. Vi setter altså substitusjonen tilbake og regner ut likningen:

   $$3x-\frac{\pi }{2}=K\pi$$

   Først flytter vi π/2 over på høyre side, altså legger vi π/2 til likningen:

   $$3x=K\pi +\frac{\pi }{2}$$

   Og nå deler vi likningen på tre:

   $$x=\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$$

   Resultatet er altså mengden L₁, definert slik:

   $$L_1=\{\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}|K\in \mathbb{Z}\}$$

   Igjen et bilde:

   

   For K = 1 får vi x = π/3 + π/6 = π/2, altså punktet E.

2. Løs likningen cos²x − sin x = 1.

   Først bruker vi formler og skriver om cos² x til 1 − sin² x. Vi setter inn igjen i likningen og får:

   $$\begin{array}{rcl}1-{\sin }^{2}x-\sin x& =& 1\\ {\sin }^{2}x+\sin x& =& 0\end{array}$$

   Nå setter vi sin x utenfor parentes:

   $$\sin x(\sin (x)+1)=0$$

   Siden vi har fått venstre side av likningen på formen av et produkt og har null på høyre side, løser vi likningene sin x = 0 og sin(x) + 1 = 0 hver for seg, fordi hele venstre side blir null hvis minst én faktor er null.

   Likningen sin x = 0 har vi løst flere ganger allerede, løsningene er x på formen Kπ, der K er et helt tall.

   Den andre likningen, sin(x) + 1 = 0, skriver vi om til likningen sin(x) = −1. Sinus er lik minus én for verdiene 3/2π + 2Kπ.

   Alle elementene i den endelige mengden L₂ får vi så som unionen.

   $$L_2=\{\frac{3}{2}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

   Bilde:

   

   Vi ser at punktene A, C, D og F har førstekoordinat som er et multiplum av π, så disse punktene beskrives av den høyre mengden i unionen ovenfor. Og hvis vi i den venstre mengden i unionen setter inn K = 0 for K, får vi x = 3π/2, som svarer til punktet E, og hvis vi setter inn K = −1 for K, får vi x = 3π/2 − 2π = −π/2, som svarer til punktet B.

3. Regn ut likningen cos² x − sin²x + cos x = 0.

   I det første trinnet bruker vi formelen sin²x = 1 − cos²x og skriver om sinus i andre:

   $$\begin{array}{r}{\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x)+\cos x=0\\ {\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x+\cos x=0\end{array}$$

   I neste trinn legger vi det sammen:

   $$2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$$

   Og til slutt gjør vi substitusjonen a = cos x.

   $$2a^2+a-1=0$$

   Dette løser vi nå som en enkel andregradslikning. Resultater:

   $$a_1=-1,a_2=\frac{1}{2}$$

   Til slutt setter vi substitusjonen tilbake og løser de to likningene cos x = −1 og $\cos x=\frac{1}{2}$, og de resulterende mengdene tar vi unionen av. Det er enkelt, og det har vi allerede løst ovenfor.

4. Løs likningen sin²x − cos²x = 1.

   Først bruker vi den klassiske formelen og uttrykker cosinus ved hjelp av sinus. Vi får:

   $$2{\sin }^{2}x=2$$

   Vi deler på to og trekker fra én:

   $${\sin }^{2}x-1=0$$

   Nå bruker vi formelen a² − b² = (a − b)(a + b):

   $$(\sin (x)-1)\cdot (\sin (x)+1)=0$$

   Et produkt av to uttrykk er null når minst ett av uttrykkene er null. Når sin x = 1 og sin x = −1 vet vi allerede. Løsningen av den trigonometriske likningen er:

   $$L_4=\{\pi /2+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{3\pi /2+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}=\{\pi /2+K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

   Bilde: