쌍곡선

쌍곡선은 원뿔곡선이다. 쌍곡선 위의 모든 점에서 고정된 두 점까지의 거리의 차의 절댓값은 언제나 같다. 덧붙이면, 영어 hyperbola는 “과장”을 뜻하는 hyperbole과 어원이 같다.

쌍곡선의 생김새

앞의 정의는 조금 어렵게 들리므로 먼저 쌍곡선의 그림을 보자.

타원이나 포물선 같은 다른 원뿔곡선과 달리 쌍곡선은 두 곡선으로 이루어져 있다는 것에 주목하자. 앞의 정의는 무슨 뜻일까? 두 초점 F₁과 F₂가 주어져 있다. 쌍곡선 위의 모든 점 X에 대해 차 $\overline{X{F}_1}-\overline{X{F}_2}$의 절댓값이 같아야 한다.

그림에 두 점 X₁과 X₂가 있다. X₁에서 차는 $\overline{X_1{F}_1}-\overline{X_1{F}_2}=1-3=-2$이고, 절댓값은 2이다. X₂에서도 같은 값이 나와야 한다. 확인해 보자. $\overline{X_2{F}_1}-\overline{X_2{F}_2}=3-5=-2$이고, 절댓값은 2이다(변 X₂F₂의 길이가 5라는 것은 예를 들어 피타고라스 정리로 계산할 수 있다).

쌍곡선 위의 모든 점에 이 방법을 적용하면 언제나 결과가 2이다.

쌍곡선의 요소

앞의 쌍곡선에 설명을 더한 그림을 보자.

• 점 F₁과 F₂를 초점이라고 한다.
• 점 S를 쌍곡선의 중심이라고 하고, 선분 F₁F₂의 중점에 있다.
• 직선 F₁F₂를 쌍곡선의 주축이라고 한다. 점 S에서 이 축에 수직인 직선을 쌍곡선의 켤레축이라고 한다. (한국의 교과서에서는 두 꼭짓점을 잇는 선분을 주축이라고 한다.)
• 쌍곡선과 주축의 교점을 쌍곡선의 꼭짓점이라고 하고, 그림에서는 점 A와 B이다.
• 선분 AS와 BS의 길이를 a로 나타낸다(주축의 길이의 절반).
• 켤레축의 길이의 절반을 b로 나타낸다.
• 초점과 중심 사이의 거리를 e로 나타낸다(선형 이심률이라고도 한다). 다음 관계가 성립한다.

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

켤레축의 길이의 절반 b가 어디서 나왔는지 더 잘 보이도록 그림을 하나 더 보자.

같은 쌍곡선이지만 무엇보다 점근선이 추가되었다. 점근선은 중심 S를 지나며 서로 엇갈리는 보라색 두 직선 a₁, a₂이다. a는 그대로 선분 AS의 길이이다. 이제 점근선 위에 점 D를 거리 $\overline{SD}$가 e와 같도록 잡는다. 그러면 선분 AD의 길이가 켤레축의 길이의 절반이다. 그림에서 보듯이 이것은 직각삼각형이므로 피타고라스 정리를 써서 다음 관계를 얻는다.

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

그림의 원은 중심이 점 S이고, 길이 $\overline{F_{1}S}$(중심에서 초점까지의 거리)가 길이 $\overline{SD}$와 같다는 것을 보여 줄 뿐이다.

쌍곡선의 방정식

쌍곡선은 두 경우로 나눈다. 쌍곡선의 주축이 x축에 평행한지 y축에 평행한지에 따라 다르다. 중심 S의 좌표가 (m, n)인 쌍곡선을 생각하자.

• 주축이 x축에 평행할 때:

방정식은 다음과 같다.

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}-\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

• 주축이 y축에 평행할 때:

방정식은 다음과 같다.

$$\frac{(y-n{)}^2}{a^2}-\frac{(x-m{)}^2}{b^2}=1$$