유클리드의 정리

고대 알렉산드리아의 수학자 유클리드는 삼각형에 관한 두 정리를 세웠다. 하나는 높이에 관한 것이고 다른 하나는 직각을 낀 변에 관한 것이다. 한국의 교과서에서는 이 관계를 이름 없이 “직각삼각형의 닮음을 이용한 관계”로 배운다.

높이에 관한 유클리드의 정리

이 정리는 직각삼각형에서만 성립한다. 기본 그림을 보자.

삼각형 ABC에서 변 c는 빗변이고, 선분 h_c는 변 c에 대한 높이이다. 점 P_c는 변 c를 두 선분으로 나눈다. 선분 AP_c를 c_b, 선분 BP_c를 c_a라고 하자.

높이에 관한 유클리드의 정리에 따르면 다음 관계가 성립한다.

$$h_c^2=c_a\cdot c_b,$$

여기서 h_c는 선분 h_c의 길이를 나타내고, 다른 문자도 마찬가지이다. 다시 말해 한 변의 길이가 h_c인 정사각형과 두 변의 길이가 c_a와 c_b인 직사각형을 만들면 두 도형의 넓이는 같다. 그런 정사각형과 직사각형을 표시한 다음 그림을 보자.

높이에 관한 유클리드의 정리는 이 두 도형의 넓이가 같다는 것이다. 빨간 정사각형의 한 변의 길이는 h_c이고, 초록 직사각형의 한 변의 길이는 c_a, 다른 변의 길이는 c_b이다.

직각을 낀 변에 관한 유클리드의 정리

두 번째 유클리드의 정리도 직각삼각형에서 성립한다. 첫 번째 삼각형 그림을 그대로 쓴다.

두 번째 정리는 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& c\cdot c_a\\ b^2& =& c\cdot c_b\end{array}$$

한 변의 길이가 a인 정사각형을 만들면, 이 정사각형의 넓이는 두 변의 길이가 c와 c_a인 직사각형의 넓이와 같다. 이번에도 정사각형과 직사각형을 그림으로 볼 수 있다.