삼각형의 외접원과 내접원

모든 삼각형에는 외접하는 원과 내접하는 원을 그릴 수 있다. 외접원은 삼각형의 모든 꼭짓점을 지나고, 내접원은 삼각형의 세 변에 모두 접한다.

삼각형의 외접원

외접원은 삼각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원이다. 이 원은 언제나 존재하고 단 하나뿐이다. 즉 한 직선 위에 있지 않은 세 점을 지나는 원은 오직 하나뿐이라고 말할 수 있다.

삼각형의 외접원을 그리려면 변의 수직이등분선이라는 개념을 알아야 한다. 변 c의 수직이등분선은 변 c에 수직이면서 변 c의 중점 M_c를 지나는 직선이다. 변의 중점을 찾는 방법은 중선의 작도에서 설명했다. 변의 중점을 찾으면 그 점을 지나는 수선을 그어 수직이등분선을 만들 수 있다.

삼각형에는 변이 세 개 있으므로 변의 수직이등분선도 세 개 있다. 세 수직이등분선은 한 점에서 만나고, 이 점을 보통 O로 나타낸다. 이 점이 외접원의 중심, 즉 외심이다. 그래서 다음과 같이 한다. 처음에 어떤 삼각형이 주어져 있고, 이 삼각형의 외접원을 그리려고 한다.

먼저 세 변의 수직이등분선을 모두 그린다. 즉 세 변의 중점을 모두 찾고, 각 중점을 지나는 수선을 긋는다.

이제 원을 그리기만 하면 된다. 외접원은 모든 꼭짓점을 지나므로 반지름은 쉽게 찾을 수 있다. 중심 O에서 아무 꼭짓점까지의 거리이다.

내접원

원이 삼각형의 세 변에 모두 접할 때, 즉 각 변과 정확히 한 점을 공유할 때 그 원은 삼각형에 내접한다. 내접원의 중심을 찾으려면 각의 이등분선이라는 개념을 알아야 한다. 이 개념은 별도의 글에서 설명한다. 내접원의 중심, 즉 내심은 세 각의 이등분선의 교점이다. 처음에 보통의 삼각형이 있다. 각의 이등분선을 그린다.

교점 I가 내접원의 중심이다. 이제 반지름을 알아내야 한다. 아무 변에나 점 I를 지나는 수선을 내린다.

선분 IP_c의 길이가 내접원의 반지름이다. 이제 원을 그리기만 하면 된다.