삼각형

삼각형은 세 꼭짓점을 세 선분으로 이은 도형이다.

삼각형의 생김새

다음 그림을 보자.

그림의 삼각형은 꼭짓점 A, B, C로 이루어져 있으므로 삼각형 ABC이다. 변은 AB, BC, AC의 세 개이다. 이 변들에 소문자로 이름이 붙어 있다는 것에도 주목하자. 이름을 붙이는 데는 규칙이 있다. 꼭짓점 A의 맞은편에 있는 변이 a이다. 꼭짓점 B의 맞은편은 변 b이고, 꼭짓점 C의 맞은편은 변 c이다. 이처럼 꼭짓점의 맞은편 변, 다시 말해 그 꼭짓점을 지나지 않는 변에는 언제나 그 꼭짓점의 이름을 붙인다.

모든 삼각형에는 내각이 세 개 있고, 보통 그리스 문자 알파 α, 베타 β, 감마 γ로 나타낸다. 세 내각의 합은 언제나 180도이다.

삼각형에는 대각선이 없지만 중선과 높이가 있다.

삼각부등식

삼각부등식은 삼각형에서 성립하는 중요한 관계이다. 어떤 두 변의 길이의 합도 언제나 나머지 한 변의 길이보다 크다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}a+b& >& c\\ a+c& >& b\\ b+c& >& a\end{array}$$

이 부등식이 성립하지 않으면, 즉 한 변이 나머지 두 변의 합보다 길면 어떻게 될까? 삼각형을 만들 수 없다. 두 변이 너무 짧아서 “서로 닿지 않기” 때문이다.

등호가 성립하면, 즉 두 변의 길이의 합이 나머지 한 변의 길이와 같으면, 삼각형을 그리려고 할 때 모든 점이 한 직선 위에 놓인다.

삼각부등식은 다른 개념을 정의할 때도 쓰인다. 흔히 거리와 관련된 개념인데, 거리에서 이 원리가 가장 자연스럽기 때문이다. 실제 세계의 거리로 말하면, 서울에서 부산까지 곧장 가는 길(직선 거리)은 서울에서 강릉을 거쳐 부산으로 가는 길보다 분명히 짧다.

삼각형의 종류

삼각형은 보통 변의 길이와 각의 크기에 따라 여러 종류로 나눈다.

• 정삼각형은 세 변의 길이가 모두 같다. 세 내각도 모두 60도이다.

• 이등변삼각형은 두 변의 길이가 같고 나머지 한 변의 길이가 다르다. 길이가 같은 두 변을 등변, 나머지 변을 밑변이라고 한다. 이런 삼각형에서 두 등변이 밑변과 이루는 각(밑각)은 언제나 크기가 같다.

• 예각삼각형은 세 내각이 모두 예각, 즉 90도보다 작다.

• 직각삼각형은 한 각이 직각, 즉 90도이다. 삼각형에 직각이 두 개 있을 수는 없다. 내각의 합이 180도이므로 세 번째 각이 0도가 되어야 하는데, 이는 불가능하기 때문이다. 직각삼각형에서는 유명한 피타고라스 정리가 성립한다. 자세한 내용은 직각삼각형에 관한 글을 읽어 보자.

• 둔각삼각형은 한 각이 둔각, 즉 90도보다 크다. 이번에도 삼각형에는 90도보다 큰 각이 두 개 있을 수 없으므로 나머지 두 각은 반드시 예각, 즉 90도보다 작다는 것에 주의하자.