Gubahan fungsi

Satu fungsi sahaja tidak dapat melakukan banyak perkara. Oleh itu, fungsi boleh digubah.

Motivasi

Katakan kita mempunyai dua fungsi. Yang pertama mengira jarak yang dapat ditempuh dengan sejumlah liter petrol. Katakan kereta kita bergerak sejauh 10 kilometer dengan satu liter petrol. Kita namakan fungsi ini f dan mentakrifkannya sebagai f(x) = 10x, dengan parameter x ialah bilangan liter petrol yang ada. Jadi, jika terdapat enam liter petrol dalam tangki, kereta masih boleh bergerak sejauh f(6) = 10 · 6 = 60 kilometer.

Fungsi kedua mengira bilangan liter petrol yang dapat dibeli dengan sejumlah wang dalam ringgit. Katakan harga petrol ialah RM2 seliter. Fungsi ini, yang kita namakan g, kelihatan seperti berikut: g(x) = x / 2, dengan x ialah jumlah wang (dalam RM) yang hendak dibelanjakan untuk petrol. Jika kita mempunyai RM10, kita dapat membeli g(10) = 10 / 2 = 5 liter petrol.

Sekarang kita boleh bertanya: berapa kilometer lagi kereta boleh bergerak jika kita membeli petrol bernilai RM50?

Kita sudah mempunyai fungsi yang masing-masing mengira satu perkara: jarak yang ditempuh berdasarkan bilangan liter, dan bilangan liter petrol yang dibeli berdasarkan jumlah wang. Sekarang kita perlu menggubah kedua-dua fungsi itu.

Cara menyelesaikannya

Kita boleh mengira dahulu bilangan liter petrol yang dapat dibeli, kemudian jarak yang dapat ditempuh. Mari kita cuba. Dengan RM50, kita dapat membeli g(50) = 50 / 2 = 25 liter petrol. Dengan 25 liter petrol, kita dapat bergerak sejauh f(25) = 10 · 25 = 250 kilometer.

Kita juga boleh menyelesaikannya dengan cara lain, iaitu dengan gubahan fungsi. Kita boleh mentakrifkan fungsi baharu h yang menerima jumlah wang sebagai input dan memulangkan jarak yang ditempuh sebagai output. Fungsi h ditakrifkan menggunakan fungsi f dan g seperti berikut:

$$h(x)=f(g(x))$$

Fungsi h yang ditakrifkan dengan cara ini sebenarnya melakukan pengiraan dalam perenggan pertama tadi. Fungsi ini memberitahu kita bahawa apabila kita diberi nilai x, iaitu jumlah wang, kita perlu mengira nilai g(x) dahulu, iaitu bilangan liter yang dapat dibeli. Nilai g(x) yang terhasil, dalam kes kita g(50) = 25, kemudian dimasukkan ke dalam fungsi f, jadi kita mengira pula f(25) = 250.

Kita juga boleh memperoleh rumus fungsi h secara langsung. Ambil fungsi f dan gantikan setiap kemunculan parameter x dengan fungsi g. Fungsi f ialah f(x) = 10x, dan kita menggantikan parameter x dengan fungsi x / 2. Dengan itu, kita memperoleh fungsi h:

$$h(x)=10\cdot \left(\frac{x}{2}\right)$$

Kita permudahkan:

$$h(x)=5x$$

Sekarang kita telah menggubah fungsi f dan g menjadi fungsi baharu h yang mengira jarak yang dapat ditempuh dengan petrol bernilai x ringgit. Kita boleh menyemaknya dengan memasukkan RM50 tadi ke dalam fungsi:

$$h(50)=5\cdot 50=250.$$

Hasilnya sama dengan pengiraan kita sebelum ini.

Gubahan fungsi yang lebih rumit

Katakan fungsi f dan g ditakrifkan seperti berikut:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& \sin (x)\cdot x^2-4\\ g(x)& =& \frac{x+1}{x-1}+5\end{array}$$

Mari kita gubah fungsi-fungsi ini seperti berikut: f(g(x)). Kita ambil fungsi f dan menggantikan setiap kemunculan parameter x dengan fungsi g, sebaik-baiknya dalam tanda kurung:

$$f(g(x))=\sin (\frac{x+1}{x-1}+5)\cdot {(\frac{x+1}{x-1}+5)}^2-4$$

Jika kita menggubah fungsi-fungsi itu dalam urutan yang bertentangan, kita memperoleh:

$$g(f(x))=\frac{(\sin (x)\cdot x^2-4)+1}{(\sin (x)\cdot x^2-4)-1}+5$$

Gubahan fungsi ditulis dengan simbol bulatan kecil: f ∘ g. Masalahnya, kadangkala tatatanda ini bermaksud gubahan f(g(x)) dan kadangkala pula g(f(x)). Tatatanda ini agak tidak jelas, jadi sentiasa semak maksud yang digunakan dalam sesuatu teks.