Konsep fungsi

Fungsi ialah konsep yang sangat penting dalam matematik dan anda patut memahaminya dengan sepenuhnya. Matematik penuh dengan fungsi. Banyak simbol yang anda kenal sejak sekolah rendah sebenarnya mewakili fungsi.

Analogi fungsi

Pernahkah anda melihat mesin kopi? Apakah ciri mesin seperti ini? Anda memasukkan beberapa syiling ke dalam mesin dan mesin itu mengeluarkan secawan kopi. Jika anda memasukkan lebih banyak syiling, mesin itu memberikan kopi yang lebih sedap.

Fungsi ialah sejenis mesin kopi matematik. Anda memasukkan suatu input (syiling) ke dalam fungsi dan fungsi itu memulangkan suatu output (kopi). Itulah prinsip asas fungsi.

Tugas fungsi ialah menerima suatu input, iaitu suatu nombor, melakukan sesuatu terhadap nombor itu, mengubahnya dan kemudian memulangkan nombor baharu sebagai output.

Istilah asas

Setiap fungsi mempunyai nama. Nama yang paling lazim bagi fungsi ialah huruf “f”. Fungsi juga memerlukan rumus yang menentukan cara fungsi itu berfungsi, iaitu cara mesin itu membancuh kopi. Sebagai permulaan, kita boleh membayangkan fungsi sebagai jadual dengan dua lajur. Lajur pertama mengandungi input (bagi mesin, nilai syiling) dan lajur kedua mengandungi output fungsi (kopi).

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{input}& \text{output}\\ 1& 2\\ 2& 4\\ 3& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Kita lihat bahawa output sentiasa dua kali ganda input, tetapi hal ini tidak semestinya menjadi peraturan. Jadual juga boleh kelihatan seperti ini:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{input}& \text{output}\\ 0& 22\\ 122& 74\\ -3& 1\\ 42& -45\\ 8& 84\\ \hline\end{array}$$

Namun, sebagai permulaan, jadual pertama yang teratur sudah memadai. Kita boleh mengatakan bahawa jadual ini mentakrifkan fungsi f. Apakah yang dilakukan oleh fungsi ini? Kita memasukkan suatu input ke dalam fungsi. Fungsi mencari input itu dalam lajur pertama jadual dan memulangkan output pada baris yang sama. Jika kita mencari output fungsi bagi nombor tiga, kita menulisnya seperti berikut:

$$f(3)=6$$

Kita menjumpai baris dengan input tiga dan pada baris yang sama outputnya ialah enam. Begitu juga, f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8 dan f(5) = 10. Menulis semua fungsi dalam bentuk jadual mungkin kelihatan kemas bagi beberapa nombor sahaja. Jika kita bekerja dengan lebih banyak nombor, cara ini sangat tidak praktikal. Oleh itu, kita memerlukan cara penulisan yang lain, iaitu rumus fungsi. Dalam jadual kita, output sentiasa dua kali ganda input. Dengan rumus fungsi, hal ini boleh ditulis seperti berikut:

$$f(x)=2\cdot x$$

Ini ialah fungsi linear yang mudah, tetapi perkara itu tidak penting buat masa ini. Apakah maksud ungkapan ini? Huruf f ialah nama fungsi, seperti yang sudah kita ketahui. Ungkapan dalam tanda kurung, iaitu huruf x, ialah parameter fungsi. Dalam analogi mesin, parameter ini mewakili “nilai syiling yang dimasukkan”. Parameter fungsi ialah pemboleh ubah yang menyimpan nilai yang kita berikan. Jika kita memasukkan syiling 20 sen ke dalam mesin (fungsi), maka dalam fungsi itu x = 20. Selepas itu, mesin atau fungsi akan memproses nilai ini mengikut caranya sendiri.

Seterusnya terdapat tanda sama dengan. Selepas tanda itu terdapat rumus yang menentukan apa yang perlu dilakukan terhadap nilai x. Kita lihat bahawa fungsi ini mendarab nilai x yang diberikan dengan dua. Itu sahaja.

Contoh fungsi yang lain

Di sebelah kanan boleh terdapat hampir sebarang ungkapan matematik. Di situ boleh terdapat fungsi lain atau syarat yang memperincikan takrif. Kita boleh mentakrifkan suatu fungsi dengan kata-kata, misalnya: “jika input ialah nombor genap, pulangkan sifar; jika input ialah nombor ganjil, pulangkan satu”. Fungsi ini hanya memulangkan satu dan sifar, tetapi fungsi ini tetap fungsi.

Perkara yang penting ialah fungsi boleh ditakrifkan dengan hampir sebarang cara. Sudah tentu fungsi juga mempunyai peraturannya sendiri, tetapi peraturan itu tidak begitu penting sekarang. Salah satu peraturan itu dibincangkan dalam bahagian seterusnya. Takrif fungsi tidak semestinya kelihatan bermakna pada pandangan pertama dan tidak semestinya mempunyai pola. Fungsi boleh sahaja sentiasa memulangkan nilai dua kali ganda, kecuali apabila inputnya tujuh. Dalam kes itu, fungsi memulangkan sembilan. Fungsi ini mungkin agak tidak masuk akal, tetapi ia tetap fungsi.

Banyak operasi yang kita lakukan di luar matematik juga boleh dipanggil fungsi. Misalnya, jika anda mengira panjang perkataan “gajah”, kita boleh mengatakan bahawa anda telah memanggil fungsi bernama “panjang perkataan” dan memberikan perkataan “gajah” sebagai hujahnya. Fungsi itu mengira huruf dalam perkataan tersebut dan memulangkan nombor lima sebagai output.

Perlukah anda mengira faedah kompaun yang perlu dibayar bagi pinjaman atau pinjaman perumahan? Fungsi juga boleh melakukannya. Anda hanya perlu mentakrifkan fungsi yang mengira jumlah faedah, misalnya selepas sepuluh tahun. Perlukah anda mengetahui berapa kilometer lagi kereta boleh bergerak dengan sejumlah liter petrol? Takrifkan suatu fungsi! Jika kereta bergerak secara purata 11 kilometer bagi setiap liter petrol, fungsi yang mengira jarak yang masih boleh kita tempuh boleh ditakrifkan seperti berikut:

$$jarak(x)=11\cdot x$$

Jika hanya tinggal 17 liter petrol, kita mengira jarak itu dengan memanggil fungsi seperti berikut:

$$jarak(17)=11\cdot 17=187$$

Ringkasnya, fungsi ialah apa-apa sahaja yang memulangkan suatu nombor bagi suatu input. Pulangkan jarak garis lurus dari Kuala Lumpur ke suatu bandar, pulangkan tempoh lagu yang paling panjang dalam suatu album, pulangkan bilangan helai rambut di kepala seseorang, pulangkan bilangan kaki seekor haiwan, dan sebagainya.

Sifat asas fungsi

Kembali kepada jadual tadi. Syarat yang sangat penting bagi fungsi ialah tiada nilai dalam lajur pertama (input) yang berulang. Jika jadual itu kelihatan seperti ini:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{input}& \text{output}\\ 1& 2\\ 1& 4\\ 1& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

… kita tidak dapat menentukan apa yang perlu dipulangkan oleh fungsi jika kita memasukkan satu:

$$f(1)=?$$

Fungsi mesti ditakrifkan dengan jelas. Fungsi tidak boleh memulangkan dua hasil yang berbeza bagi input yang sama. Hal ini tidak dibenarkan sama sekali. Kita menghendaki fungsi sentiasa memulangkan output yang sama bagi input yang sama. Perhatikan bahawa syarat ini tidak terpakai pada lajur kedua, iaitu output. Output boleh sahaja sama, hal ini tidak menjadi masalah. Jadual berikut adalah sah:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{input}& \text{output}\\ 1& 2\\ 2& 2\\ 3& 2\\ 4& 2\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Menilai fungsi

Kita sudah mengetahui nama setiap bahagian fungsi dan secara kasar cara mentakrifkan fungsi. Sekarang kita akan menerangkan langkah demi langkah cara fungsi dinilai. Katakan kita mempunyai fungsi f(x) = 2x. Apakah yang berlaku apabila kita memasukkan tiga ke dalam fungsi ini? Memasukkan tiga ke dalam fungsi bermaksud menggantikan parameter fungsi dengan nombor tiga. Hujah fungsi ialah tiga, jadi kita menggantikan setiap x dengan tiga:

$$f(3)=2\cdot 3$$

Kita sudah dapat melihat bahawa fungsi akan mengeluarkan enam, sama seperti jadual tadi. Jadual itu hanya terhad kepada lima nombor, tetapi takrif baharu kita boleh menerima nombor lain juga:

$$\begin{array}{rcl}f(10)& =& 2\cdot 10=20\\ f(54)& =& 2\cdot 54=108\\ f(-7)& =& -14\end{array}$$

Proses menggantikan pemboleh ubah x dengan nilai tertentu dipanggil menilai fungsi, memanggil fungsi atau mengaplikasikan fungsi. Jika kita mengatakan “panggil fungsi f dengan hujah 5”, kita mahu mengira nilai f(5). Dalam kes kita, nilainya ialah f(5) = 2 · 5 = 10.

Berikut ialah dua lagi istilah yang perlu diingat. Nilai yang digunakan untuk memanggil fungsi (nilai yang menggantikan x) dipanggil hujah fungsi. Hal ini mungkin kelihatan agak mengelirukan. Jika kita mempunyai fungsi f(x) dan memanggilnya dengan nilai tiga, f(3), maka x ialah parameter fungsi dan 3 ialah hujah fungsi. Hujah ialah nilai sebenar yang digunakan untuk memanggil fungsi. Parameter ialah pemboleh ubah asal yang digunakan untuk mentakrifkan fungsi. Perbezaan ini lebih kepada perincian teknikal.

Istilah seterusnya ialah nilai fungsi, iaitu nilai yang dipulangkan oleh fungsi sebagai output. Fungsi tadi memulangkan nombor enam apabila dipanggil dengan nombor tiga. Jadi, dalam kes ini, nombor enam ialah nilai fungsi. Dalam ayat lengkap, kita mengatakan “nilai fungsi f pada titik tiga ialah enam”. Dalam konteks ini, “titik” biasanya bermaksud hujah fungsi.

Fungsi dalam matematik harian

Dalam matematik harian terdapat banyak fungsi yang ditulis dengan cara yang sangat khusus, sehingga fungsi itu tidak kelihatan seperti fungsi. Misalnya, nilai mutlak sebenarnya hanyalah suatu fungsi. Fungsi ini menerima suatu nombor sebagai input dan memulangkan sama ada nombor yang sama atau nombor itu dengan tanda yang bertentangan.

Anda tentu mengenali simbol punca kuasa: $\sqrt{}$. Ini juga fungsi. Fungsi ini menerima suatu hujah sebagai input dan memulangkan punca kuasa duanya. Begitu juga, kuasa dua x² ialah fungsi. Fungsi ini menerima suatu nombor dan memulangkan kuasa dua nombor itu.

Anda perlu sedar bahawa kebanyakan simbol “ajaib” seperti ini sebenarnya tidak lebih rumit daripada fungsi biasa. Jangan melihat simbol $\sqrt{}$ sebagai bentuk bengkok yang pelik. Lihatlah simbol itu sebagai fungsi.

Bagi orang yang baru belajar, ungkapan yang penuh dengan simbol matematik boleh mengelirukan. Separuh daripada simbol itu mungkin tidak difahaminya, sedangkan ungkapan itu hanyalah beberapa fungsi gubahan. Mari kita lihat contoh ini:

$$\sqrt{|x^2|}!$$

Orang yang tidak biasa dengan matematik akan menggaru kepala apabila melihatnya dan tidak tahu apa yang perlu dilakukan. Padahal ungkapan ini mengandungi empat fungsi yang agak mudah, yang dikenakan satu demi satu pada pemboleh ubah x. Ungkapan ini boleh ditulis dengan fungsi bernama yang bersarang seperti berikut:

$$\text{faktorial}(\text{punca}(\text{abs}(\text{kuasa2}(x))))$$

Penulisan ini lebih panjang, tetapi mungkin lebih jelas bagi orang yang tidak biasa dengan simbol. Urutan fungsi dipanggil juga menjadi sangat jelas.

Ringkasan penulisan fungsi

Fungsi mempunyai nama, yang pada dasarnya boleh apa-apa sahaja. Fungsi umum paling kerap dinamakan f. Setiap fungsi mempunyai bilangan parameter tertentu yang ditulis dalam tanda kurung selepas nama fungsi. Jika fungsi f mempunyai dua parameter, kita menulisnya sebagai f(x, y) atau f(a, b). Secara umum, nama parameter tidak penting.

Sesetengah fungsi yang kerap digunakan mempunyai simbol tersendiri. Misalnya, punca kuasa mempunyai simbol $\sqrt{}$. Selain itu, sin atau sin(x) ialah fungsi sinus, |x| ialah fungsi nilai mutlak dan x! ialah fungsi faktorial.

Jika fungsi mempunyai satu parameter, tanda kurung kadangkala ditinggalkan. Hal ini kadangkala menjadikan penulisan lebih jelas, kadangkala tidak. Jadi, sin(x) dan sin x kedua-duanya ialah penulisan yang sah bagi fungsi sinus.

Parameter fungsi merujuk kepada huruf x dalam penulisan f(x). Hujah pula ialah nilai yang digunakan untuk memanggil fungsi, iaitu nilai yang menggantikan x. Kedua-dua istilah ini sering digunakan secara bertukar ganti. Nilai fungsi ialah nilai yang diperoleh selepas fungsi dipanggil. Nilai ini ditulis dengan nama fungsi, tanda kurung dan hujah. Jika kita mempunyai fungsi f(x) = 2x dan menggantikan parameter x dengan hujah x = 4, kita mengatakan bahawa kita memanggil fungsi dengan hujah x = 4, dan nilai fungsi yang terhasil, f(4), ialah lapan.