Fungsi nisbah linear

Fungsi nisbah linear ialah fungsi yang pengangka dan penyebutnya kedua-duanya ialah fungsi linear:

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$

Fungsi nisbah linear yang paling mudah ialah $y=\frac{k}{x}$. Anda mungkin mengenalinya dari sekolah sebagai ubahan songsang dalam kaedah unitari. Jarak dari Kuala Lumpur ke Putrajaya kira-kira 30 kilometer. Jika anda bergerak pada laju 30 km/j, anda akan tiba dalam masa sejam. Pada laju 60 km/j, anda tiba dalam masa setengah jam, dan dengan basikal pada laju 15 km/j, anda tiba dalam masa dua jam. Laju dua kali ganda, masa separuh. Jadi, masa perjalanan dalam jam ialah

$$t=\frac{30}{v},$$

dengan v ialah laju dalam kilometer sejam. Inilah fungsi $y=\frac{k}{x}$ dengan k = 30.

Graf fungsi nisbah linear ialah hiperbola, iaitu hiperbola segi empat tepat yang asimptotnya saling serenjang. Berbeza dengan rajah dalam artikel tentang hiperbola, graf ini diputar sehingga menghampiri garis mengufuk dan garis mencancang, bukan dua garis condong yang bersilang. Misalnya, beginilah rupa graf fungsi $y=\frac{x-1}{x-2}$. Asimptotnya ialah garis putus-putus biru x = 2 dan y = 1:

Rumus ini disertai dua syarat, iaitu c ≠ 0 dan ad − bc ≠ 0. Jika c = 0, tiada x dalam penyebut dan kita memperoleh fungsi linear biasa. Jika ad − bc = 0 pula, pengangka ialah gandaan penyebut, pecahan itu dapat dipermudahkan dan yang tinggal hanyalah fungsi pemalar.

Fungsi k per x

Kita mulakan dengan fungsi $y=\frac{k}{x}$. Kita tidak boleh menggantikan x dengan sifar, kerana kita tidak boleh membahagi dengan sifar. Oleh itu, domainnya ialah D_f = ℝ ∖ {0}. Namun, kita juga tidak pernah memperoleh sifar sebagai hasil, kerana pecahan dengan pengangka bukan sifar tidak mungkin bernilai sifar. Oleh itu, julatnya juga R_f = ℝ ∖ {0}.

Mari kita gantikan beberapa nombor ke dalam fungsi $y=\frac{2}{x}$. Bagi x = 1, kita memperoleh y = 2, bagi x = 2 kita memperoleh y = 1, dan bagi x = 4 hanya $y=\frac{1}{2}$. Semakin besar x, semakin rapat graf menghampiri paksi-x tanpa pernah menyentuhnya. Sebaliknya, semakin hampir x kepada sifar, semakin besar y yang diperoleh: bagi $x=\frac{1}{10}$, y = 20. Jadi, graf itu melonjak ke atas di sepanjang paksi-y. Bagi x negatif, keadaannya sama, cuma dengan tanda yang bertentangan.

Lengkung merah dalam rajah ialah graf fungsi $y=\frac{2}{x}$, manakala lengkung biru ialah graf fungsi $y=-\frac{2}{x}$. Titik-titik jingga sepadan dengan nilai yang baru kita kira. Kedudukan cabang-cabang graf ditentukan oleh tanda nombor k:

• bagi k>0, cabang hiperbola terletak dalam sukuan I dan sukuan III,
• bagi k<0, cabang-cabangnya terletak dalam sukuan II dan sukuan IV.

Paksi-x dan paksi-y, yang dihampiri oleh graf, dipanggil asimptot.

Sekarang berhati-hati dengan perangkap yang hampir semua orang terjatuh ke dalamnya. Bukankah fungsi $y=\frac{2}{x}$ ialah fungsi menyusut? Setiap cabang merah secara berasingan memang menyusut. Tetapi cuba ambil x₁ = −1 dan x₂ = 1. Di sini x₁<x₂, tetapi f(−1) = −2 lebih kecil daripada f(1) = 2. Jadi, fungsi ini tidak menyusut pada keseluruhan D_f. Fungsi ini menyusut secara berasingan pada selang (−∞, 0) dan secara berasingan pada selang (0, ∞). Jika anda menulis bahawa fungsi ini menyusut pada ℝ ∖ {0}, jawapan anda salah.

Graf yang dianjak dan penukaran bentuk am

Graf fungsi $y=\frac{k}{x}$ boleh dianjak sama seperti parabola bagi fungsi kuadratik. Fungsi

$$y=\frac{k}{x-m}+n$$

mempunyai graf yang sama dengan $y=\frac{k}{x}$, tetapi dianjak sejauh m ke kanan dan n ke atas. Berhati-hati dengan tanda: penyebutnya ialah x − m, jadi $\frac{k}{x-3}$ dianjak tiga unit ke kanan, bukan ke kiri. Asimptot turut teranjak bersama graf, jadi asimptot bukan lagi paksi koordinat, tetapi garis x = m dan y = n. Asimptot mencancang terletak di tempat penyebut bernilai sifar. Apabila x menghampiri nombor m, penyebut menjadi sangat kecil dan pecahan menjadi sangat besar, jadi graf meluncur ke atas atau ke bawah. Asimptot mengufuk terletak pada nilai yang dihampiri oleh nilai fungsi apabila x sangat jauh dari sifar, sama ada di sebelah positif atau negatif. Pecahan $\frac{k}{x-m}$ ketika itu hampir sifar dan yang tinggal hanyalah n.

Namun, rumus am $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ biasanya tidak diberikan dalam bentuk ini. Mari kita lihat penukaran bagi fungsi

$$y=\frac{2x+1}{x-1}.$$

Penyebutnya ialah x − 1, jadi kita cuba menghasilkan ungkapan yang sama dalam pengangka. Dua kali x − 1 ialah 2x − 2. Untuk memperoleh pengangka 2x + 1 daripadanya, kita perlu menambah tiga lagi:

$$2x+1=2\cdot (x-1)+3$$

Kita gantikan ke dalam pecahan:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)+3}{x-1}$$

Kita pisahkan pecahan itu kepada hasil tambah dua pecahan:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}$$

Dalam pecahan pertama, kita permudahkan x − 1:

$$y=2+\frac{3}{x-1}$$

Anda juga boleh memperoleh hasil yang sama melalui pembahagian polinomial: (2x + 1):(x − 1) memberikan 2 dengan baki 3. Daripada hasil ini kita mudah membaca m = 1, n = 2 dan k = 3. Asimptotnya ialah garis x = 1 dan y = 2. Oleh sebab k positif, cabang-cabang graf terletak di kanan atas dan kiri bawah berbanding asimptot, sama seperti bagi $y=\frac{2}{x}$.

Domain ditentukan oleh penyebut yang tidak boleh sifar, iaitu x ≠ 1. Sebaliknya, fungsi ini tidak pernah mencapai nilai 2, kerana pecahan $\frac{3}{x-1}$ tidak mungkin sifar:

$$D_f=\mathbb{R}\setminus \{1\},R_f=\mathbb{R}\setminus \{2\}$$

Yang tinggal ialah titik persilangan dengan paksi. Pada titik persilangan dengan paksi-x, y = 0, dan pecahan bernilai sifar hanya apabila pengangkanya sifar:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 0/-1\\ 2x& =& -1/:2\\ x& =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

Titik persilangan dengan paksi-y diperoleh dengan menggantikan x dengan sifar:

$$y=\frac{2\cdot 0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$$

Graf menyilang paksi-x pada titik $(-\frac{1}{2},0)$ dan paksi-y pada titik (0, −1). Kedua-dua titik persilangan ditunjukkan dengan warna jingga dalam rajah, dan asimptot dengan garis putus-putus kelabu:

Perhatikan bahawa titik persilangan dengan paksi-y juga boleh diperoleh daripada bentuk yang telah diubah: $2+\frac{3}{0-1}=2-3=-1$. Hasilnya sepadan.