Fungsi songsang

Fungsi songsang ialah fungsi yang memetakan unsur-unsur secara “terbalik” berbanding fungsi asal.

Contoh pengenalan

Sebagai permulaan, kita ambil fungsi linear yang mudah, f(x) = 2x. Apakah nilai-nilai fungsi ini? Misalnya, bagi beberapa nombor asli yang pertama, nilai fungsinya seperti berikut:

$$\begin{array}{rcl}f(1)& =& 2\\ f(2)& =& 4\\ f(3)& =& 6\\ f(4)& =& 8\\ & \dots & \end{array}$$

Kita lihat bahawa jika kita memasukkan dua ke dalam fungsi, fungsi memulangkan empat. Apakah yang patut dilakukan oleh fungsi songsang bagi fungsi ini? Fungsi songsang patut bertindak secara terbalik: kita memasukkan empat dan fungsi itu memulangkan dua. Fungsi songsang, yang ditulis f⁻¹, patut memetakan unsur-unsur secara terbalik, iaitu seperti berikut:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(2)& =& 1\\ f^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(6)& =& 3\\ f^{-1}(8)& =& 4\\ & \dots & \end{array}$$

Bagaimanakah kita mencapainya? Jika fungsi asal memulangkan dua kali ganda parameter x, fungsi songsang pula patut memulangkan separuh daripada parameter x. Jika kita memasukkan tiga, kita memperoleh enam selepas digandakan. Separuh daripada enam ialah tiga semula. Fungsi songsang itu ditulis seperti berikut:

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

Takrif

Sekarang kita takrifkan fungsi songsang dengan tepat. Katakan kita mempunyai fungsi f dengan domain D_f dan julat R_f. Menurut takrif fungsi, bagi setiap unsur x dalam domain D_f terdapat suatu unsur y dalam julat R_f sehingga f(x) = y.

Fungsi songsang f⁻¹ ialah fungsi yang memenuhi:

$$f(x)=y\iff f^{-1}(y)=x.$$

Apakah maksud takrif ini? Jika kita memanggil fungsi f dengan hujah x dan memperoleh nilai y, maka kita mesti dapat memanggil fungsi songsang dengan hujah y, dan fungsi songsang itu mesti memulangkan nilai x.

Mari kita lihat perkara ini pada rajah. Rajah pertama menunjukkan fungsi asal f yang memulangkan dua kali ganda nilai yang diberikan. Bulatan kiri mewakili domain, iaitu set tempat kita memilih nilai x. Bulatan kanan mewakili julat, iaitu set nilai yang boleh diambil oleh nilai fungsi. Anak panah menunjukkan input yang dipetakan kepada setiap output. Sudah tentu sepatutnya terdapat anak panah yang tak terhingga banyaknya. Rajah ini hanya menunjukkan sebahagian kecil fungsi.

Seterusnya ialah rajah fungsi songsang. Fungsi songsang kelihatan sangat serupa. Perubahan utamanya ialah arah anak panah, dan domain serta julat juga bertukar tempat.

Kita lihat bahawa fungsi asal memetakan D_f kepada R_f, tetapi fungsi songsang memetakan secara terbalik, iaitu R_f kepada D_f. Jadi, domain fungsi asal sama dengan julat fungsi songsang, dan julat fungsi asal sama dengan domain fungsi songsang.

Kewujudan fungsi songsang

Pertama sekali, fungsi songsang tidak semestinya wujud. Hal ini disebabkan oleh sifat asas fungsi. Jika kita mengambil dua unsur domain yang sama, a = b, fungsi mesti sentiasa memulangkan hasil yang sama, f(a) = f(b). Kembali kepada fungsi yang memulangkan dua kali ganda: f(5) = 10 mesti sentiasa benar. Fungsi tidak boleh memulangkan, misalnya, tiga belas: f(5) = 13. Hal ini tidak boleh berlaku pada fungsi, menurut takrifnya.

Sekarang mari kita analisis situasi apabila kita mempunyai, misalnya, fungsi kuadratik f(x) = x². Apakah yang dipulangkan oleh fungsi ini jika kita memanggilnya dengan hujah x₁ = 2 dan x₂ = −2? Dalam kedua-dua kes, fungsi memulangkan nilai 4:

$$\begin{array}{rcl}f(2)& =& 4\\ f(-2)& =& 4\end{array}$$

Setakat ini tiada masalah. Tetapi bagaimanakah rupa fungsi songsangnya? Jika kita membina fungsi songsang bagi fungsi kuadratik ini, kedua-dua persamaan berikut mesti benar serentak:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(4)& =& -2\end{array}$$

Seperti yang kita tahu, hal ini mustahil. Fungsi tidak boleh memulangkan hasil yang berbeza bagi hujah yang sama. Jadi, bilakah fungsi songsang wujud? Apabila fungsi tidak memulangkan nilai yang sama bagi mana-mana dua hujah input yang berbeza. Inilah takrif fungsi satu kepada satu:

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Fungsi songsang bagi fungsi f wujud jika dan hanya jika f ialah fungsi satu kepada satu. Mari kita lihat pada rajah mengapa fungsi yang bukan satu kepada satu tidak mungkin mempunyai fungsi songsang. Kita tunjukkan sebahagian fungsi kuadratik f(x) = x² dengan anak panah:

Jika kita cuba menterbalikkan anak panah, kita memperoleh rajah berikut:

Dalam rajah ini, dari satu titik terdapat dua anak panah yang menuju ke dua nombor berbeza dalam set kedua. Hal ini tidak memenuhi takrif fungsi, jadi fungsi songsang tidak mungkin wujud.

Makna grafik

Jika fungsi songsang wujud, graf fungsi dan graf fungsi songsangnya simetri pada garis yang membahagi dua sama sukuan I dan sukuan III. Garis ini juga merupakan graf fungsi f(x) = x.

Mencari fungsi songsang

Jika anda diberi suatu fungsi dan diminta mencari fungsi songsangnya, tukarkan fungsi itu kepada persamaan dan jadikan x sebagai perkara rumus. Jadi, fungsi linear pertama tadi, f(x) = 2x, kita tulis seperti berikut:

$$y=2x$$

Kita mulakan dari sini. Matlamatnya ialah mengungkapkan x dalam sebutan y. Di sini hal ini cepat sahaja: bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan dua

$$\frac{y}{2}=x$$

dan x sudah diungkapkan. Jadi, fungsi songsangnya ialah $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$. Contoh lain:

$$f(x)=4x-7$$

Kita tulis sebagai persamaan dan ungkapkan x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& 4x-7/+7\\ y+7& =& 4x/:4\\ \frac{y+7}{4}& =& x\end{array}$$

Fungsi songsangnya ialah:

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

Kita boleh menyemaknya. Kira nilai fungsi asal bagi nilai tiga:

$$f(3)=4\cdot 3-7=12-7=5$$

Jika fungsi songsang itu betul, panggilan dengan nilai 5 patut memulangkan tiga semula:

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Contoh lain:

$$f(x)=x^2+1$$

Kita ungkapkan x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& x^2+1/-1\\ y-1& =& x^2/\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}& =& \sqrt{x^2}\end{array}$$

Sekarang kita menghadapi masalah. Kita tidak boleh begitu sahaja mengambil punca kuasa dua bagi x² dan memperoleh x. Kita perlu menambah nilai mutlak:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Gantikan ke dalam persamaan tadi:

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

Dengan itu kita memperoleh dua hasil, satu positif dan satu negatif:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt{y-1}\\ x_2& =& -\sqrt{y-1}\end{array}$$

Akibatnya, bagi satu nilai y terdapat dua nilai x yang berbeza, kecuali apabila punca kuasa itu sifar. Namun, kita boleh mencari fungsi songsang pada selang tertentu. Perhatikan graf fungsi ini:

Kita dapati bahawa fungsi songsang boleh wujud pada selang [0, ∞). Jadi, kita boleh mengambil ungkapan bagi x₁ sahaja. Kita memperoleh fungsi yang grafnya ditunjukkan dalam rajah berikut:

Jadi, pada selang itu fungsi songsangnya ialah

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$