Pertumbuhan eksponen

Menurut sebuah legenda lama, pencipta permainan catur meminta ganjaran yang sederhana daripada raja: sebutir beras pada petak pertama papan catur, dua butir pada petak kedua, empat butir pada petak ketiga, dan pada setiap petak berikutnya dua kali ganda bilangan pada petak sebelumnya. Kononnya raja ketawa kerana permintaan orang bijak itu begitu kecil, lalu memerintahkan supaya sekarung beras dibawa. Namun, raja itu ketawa terlalu awal.

Pada petak pertama terdapat 1 butir, iaitu 2⁰. Pada petak kedua 2¹ = 2, pada petak ketiga 2² = 4, pada petak keempat 2³ = 8. Indeksnya kurang satu daripada nombor petak, jadi pada petak terakhir, iaitu petak ke-64, terdapat

$$2^{63}=9223372036854775808$$

butir. Ini lebih daripada sembilan kuintilion (sembilan bilion bilion). Tetapi itu hanya petak terakhir, sedangkan kita mahukan seluruh papan catur. Jika kita menjumlahkan semua petak, kita memperoleh

$$1+2+4+\dots +2^{63}=2^{64}-1,$$

iaitu tepat 18 446 744 073 709 551 615 butir.

Mengapa 2⁶⁴ − 1? Semak pada petak-petak pertama: 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 4 = 7, 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Hasil tambahnya sentiasa kurang satu daripada bilangan butir pada petak berikutnya.

Sebutir beras putih berjisim kira-kira 20 miligram, jadi seribu butir kira-kira 20 gram. Mari kita kira jisim beras di seluruh papan catur:

$$(2^{64}-1)\cdot 20\text{mg}\approx 369000000000\text{t}$$

Beras di seluruh papan catur berjisim kira-kira 369 bilion tan. Sebagai perbandingan, seluruh dunia menghasilkan kira-kira 540 juta tan beras setahun. Untuk berapa tahun hasil tuaian dunia beras ini mencukupi? Hasil bahagi kedua-dua nombor itu:

$$\frac{369000000000}{540000000}\approx 683$$

Raja itu terpaksa menyerahkan semua beras yang dituai oleh manusia selama lebih daripada enam ratus tahun. Yang paling menarik ialah betapa lamanya keadaan kelihatan tidak berbahaya. Seluruh separuh pertama papan catur, iaitu 32 petak, hanya mengandungi 2³² − 1, iaitu kira-kira 4.3 bilion butir. Jumlah ini kira-kira 86 tan, beberapa lori sahaja. Selebihnya tertumpu pada separuh kedua papan catur.

Penambahan berbanding pendaraban

Jika sesuatu bertambah dengan menambah nombor yang sama pada setiap langkah, kita menyebutnya pertumbuhan linear. Jika sesuatu pula didarab dengan nombor yang sama pada setiap langkah, itulah pertumbuhan eksponen. Pada papan catur, kita mendarab dengan dua.

Ibu bapa Hafiz menawarkan dua pilihan untuk menaikkan wang sakunya. Sekarang dia menerima RM300 sebulan. Setiap bulan wang sakunya akan dinaikkan sama ada sebanyak RM100 atau sebanyak 10%. Seratus ringgit, atau hanya sepuluh peratus daripada tiga ratus, iaitu tiga puluh? Pilihannya nampak jelas.

Pada bulan pertama, memang begitu. Dengan penambahan, Hafiz menerima 300 + 100 = 400 ringgit, dan dengan pendaraban 300 · 1.1 = 330 ringgit. Selepas setengah tahun, penambahan memberikan RM900 dan pendaraban kira-kira RM531. Namun, sepuluh peratus dikira daripada jumlah yang semakin besar, jadi kenaikannya semakin besar, manakala seratus ringgit tetap seratus ringgit. Pada bulan ke-23, pendaraban mengatasi penambahan dan sejak itu jaraknya semakin jauh. Selepas tiga tahun, Hafiz akan menerima RM3 900 dengan penambahan, tetapi lebih daripada RM9 200 dengan pendaraban. Selepas empat tahun pula, RM5 100 berbanding kira-kira RM29 100 sebulan.

Garis lurus biru mendahului seketika, tetapi lengkung merah naik semakin curam. Hal ini benar secara umum: pertumbuhan eksponen lambat-laun akan mengatasi sebarang pertumbuhan linear. Persoalannya hanyalah bila.

Seluruh pertumbuhan eksponen dapat dirumuskan dalam satu rumus

$$N=N_0\cdot q^t,$$

dengan N₀ ialah nilai awal, q ialah nombor yang mendarab nilai itu dalam satu tempoh, dan t ialah bilangan tempoh yang telah berlalu. Bagi Hafiz, N₀ = 300 dan q = 1.1, kerana menambah 10% bermaksud mendarab dengan 1.1. Selepas 36 bulan, kita memperoleh

$$N=300\cdot {1.1}^{36}\approx 9274\text{ringgit}.$$

Pada papan catur, N₀ = 1 dan q = 2. Pemboleh ubah t berada pada kedudukan indeks, jadi ini ialah fungsi eksponen. Dalam artikel itu anda juga akan menemukan bakteria yang membelah dua.

Berapa lamakah masa untuk menjadi dua kali ganda?

Bagi pertumbuhan eksponen, soalan yang berguna ialah berapa lama masa yang diperlukan supaya nilainya menjadi dua kali ganda. Masa penggandaan ini tidak berubah, walau bila pun kita bermula. Jika sesuatu menjadi dua kali ganda dalam sepuluh tahun, dalam sepuluh tahun berikutnya ia menjadi dua kali ganda lagi, dan selepas dua puluh tahun nilainya empat kali ganda.

Untuk membuat anggaran, kita boleh menggunakan cara mudah, iaitu petua 70: jika sesuatu bertambah sebanyak p peratus dalam satu tempoh, nilainya menjadi dua kali ganda selepas kira-kira

$$\frac{70}{p}$$

tempoh. Jika harga barang di kedai naik 7% setiap tahun, harga itu menjadi dua kali ganda dalam kira-kira 70:7 = 10 tahun. Roti canai yang hari ini berharga RM1.50 akan berharga hampir RM3 sepuluh tahun lagi. Sebaliknya, wang yang disimpan dengan faedah 3% setahun menjadi dua kali ganda dalam kira-kira 70:3 ≈ 23 tahun. Hal ini kerana faedah juga dikira daripada faedah yang terdahulu. Ini ialah faedah kompaun, iaitu sekali lagi pertumbuhan eksponen.

Mengapa tujuh puluh? Masa penggandaan yang tepat diperoleh menggunakan logaritma. Kita mencari t yang menyelesaikan persamaan eksponen

$${1.07}^t=2.$$

Kita ambil logaritma bagi kedua-dua belah persamaan, dan indeks itu “turun” ke hadapan logaritma:

$$t\cdot \log 1.07=\log 2$$

Sekarang kita hanya perlu membahagi:

$$t=\frac{\log 2}{\log 1.07}\approx \frac{0.301}{0.0294}\approx 10.2$$

Jadi, harga akan menjadi dua kali ganda dalam masa kurang sedikit daripada sepuluh tahun tiga bulan, dan petua 70 hampir tepat. Angka tujuh puluh datang daripada fakta bahawa hasil bahagi dua logaritma adalah sama, walau apa pun asas logaritma yang diambil. Dengan logaritma jati ln dan pertumbuhan umum sebanyak p peratus, kita memperoleh

$$t=\frac{\ln 2}{\ln (1+\frac{p}{100})}\approx \frac{0.693}{\frac{p}{100}}=\frac{69.3}{p},$$

kerana bagi peratusan yang kecil, $\ln (1+\frac{p}{100})$ lebih kurang sama dengan $\frac{p}{100}$. Angka 70 digunakan sebagai ganti 69.3 kerana lebih mudah dibahagi. Jadi, petua ini berfungsi dengan baik bagi beberapa peratus, tetapi bagi puluhan peratus ketepatannya sedikit berkurang.

Teratai di kolam

Sebelum membaca seterusnya, cuba selesaikan teka-teki ini sendiri. Di sebuah kolam tumbuh pokok teratai, dan setiap hari bilangannya dua kali ganda bilangan pada hari sebelumnya. Dalam masa 30 hari, teratai itu menutupi seluruh kolam. Pada hari keberapakah separuh kolam ditutupi?

Jawapan yang terlintas ialah hari kelima belas, kerana lima belas ialah separuh daripada tiga puluh. Tetapi bilangan teratai menjadi dua kali ganda setiap hari. Jadi, jika seluruh kolam ditutupi pada hari ke-30, sehari sebelumnya separuh kolam mestilah sudah ditutupi. Separuh kolam ditutupi teratai pada hari ke-29.

Jika kita mengundur lagi: pada hari ke-28 suku kolam ditutupi, pada hari ke-27 satu per lapan, pada hari ke-26 satu per enam belas, dan pada hari ke-25 hanya kira-kira 3% permukaan. Orang yang melihat kolam itu pada hari ke-25 akan nampak air yang hampir bersih dan menyangka masih ada banyak masa. Namun, dalam masa lima hari sahaja, seluruh kolam sudah dipenuhi teratai.

Inilah yang menjadikan pertumbuhan eksponen begitu memperdaya. Sebahagian besar masa ia kelihatan tidak berbahaya, dan apabila akhirnya dapat dilihat dengan mata kasar, hanya tinggal beberapa kali penggandaan sebelum semuanya berakhir.

Wabak

Penyakit juga boleh merebak dengan kadar yang sama. Katakan hari ini terdapat 100 orang yang dijangkiti di sebuah bandar dan bilangan kes menjadi dua kali ganda setiap tiga hari. Dalam masa 30 hari, bilangan itu menjadi dua kali ganda sebanyak sepuluh kali:

$$100\cdot 2^{10}=100\cdot 1024=102400$$

Daripada seratus orang pesakit, dalam masa sebulan terdapat lebih daripada seratus ribu. Oleh itu, pakar epidemiologi mendesak supaya langkah pencegahan diambil ketika angka masih kecil dan orang ramai merasakan tiada apa-apa yang berlaku. Sebenarnya kita sudah berada pada hari ke-25 di kolam itu.

Kadar penyakit merebak digambarkan oleh nombor pembiakan R. Secara ringkas, nombor ini menyatakan berapa orang lain yang, secara purata, dijangkiti oleh seorang pesakit. Jika R = 2, setiap pesakit menjangkiti dua orang lain, dua orang itu menjangkiti empat orang, dan setiap “generasi” pesakit dua kali lebih ramai. Jika satu generasi mengambil masa kira-kira tiga hari, kita kembali tepat kepada contoh tadi. Jika R dapat diturunkan di bawah satu, misalnya kepada 0.8, bilangan pesakit dalam setiap generasi didarab dengan nombor yang kurang daripada satu dan wabak itu semakin lemah. Daripada 100 orang yang dijangkiti, dalam generasi kesepuluh hanya kira-kira

$$100\cdot {0.8}^{10}\approx 11$$

orang akan dijangkiti.

Perbezaan antara R = 0.8 dengan R = 2 nampak kecil. Namun, selepas sepuluh generasi, perbezaan itu menjadi jurang antara sebelas dengan seratus dua ribu orang pesakit.

Lipat kertas empat puluh dua kali

Ambil sehelai kertas yang tebalnya kira-kira satu per sepuluh milimeter. Lipat kertas itu dua dan anda mendapat dua lapisan, iaitu dua per sepuluh milimeter. Lipat sekali lagi dan anda mendapat empat lapisan. Setiap lipatan menggandakan ketebalannya. Berapakah tebal kertas itu selepas 42 lipatan?

$$0.1\text{mm}\cdot 2^{42}\approx 440000000000\text{mm}=440000\text{km}$$

Jarak purata Bulan dari Bumi ialah kira-kira 384 000 km. Kertas yang dilipat empat puluh dua kali akan sampai ke Bulan, malah melepasinya sedikit.

Anda tidak perlu mencubanya, kerana anda tidak akan dapat melipat sehelai kertas lebih daripada tujuh kali dengan tangan. Selepas tujuh lipatan, kertas itu mempunyai 128 lapisan dan tebalnya kurang sedikit daripada 1.3 cm. Selain itu, kertas itu semakin kecil dan semakin keras. Rekodnya ialah tiga belas lipatan, dan untuk itu diperlukan jalur kertas tandas sepanjang kira-kira 16 km.

Mengapakah nombor ini terasa tidak masuk akal? Gerak hati kita pandai menangani penambahan. Apabila kita membayangkan 42 langkah, kita membayangkan 42 langkah yang sama besar bersebelahan. Tetapi di sini setiap langkah menambah ketebalan sebanyak tebal keseluruhan kertas setakat itu. Selepas sepuluh lipatan, kertas itu setebal kira-kira 10 cm, selepas dua puluh lipatan lebih daripada 100 m, dan selepas tiga puluh lipatan sudah mencapai ketinggian 107 km. Dua belas lipatan terakhir, yang membawa kertas itu sampai ke Bulan, hanyalah dua belas penggandaan lagi.

Tidak berterusan selama-lamanya

Jika teratai terus membiak dengan kadar yang sama, pada hari ke-31 teratai akan menutupi dua kolam, dan pada hari ke-40 seribu kolam. Sudah tentu hal ini tidak berlaku. Kolam mempunyai keluasan yang terhad, bakteria mempunyai jumlah makanan yang terhad, dan penyakit tidak lagi mempunyai sesiapa untuk dijangkiti apabila kebanyakan orang sudah pernah menghidapinya. Dalam alam semula jadi, pertumbuhan eksponen hanya berlangsung sehingga ruang atau sumber mula berkurangan.

Selepas itu, pertumbuhan menjadi perlahan dan nilainya menghampiri had maksimum yang dapat ditampung oleh persekitaran. Graf pertumbuhan seperti ini kelihatan seperti huruf S yang memanjang, jadi graf itu dipanggil lengkung S, atau secara saintifik pertumbuhan logistik.

Pada mulanya, kedua-dua lengkung hampir sama. Sumber mencukupi, jadi tiada yang menghalang dan lengkung S tumbuh secara eksponen. Sebelum separuh jalan, lengkung S mula menyimpang daripada lengkung eksponen. Pada separuh jalan ke arah had K, lengkung itu tumbuh paling cepat, kemudian melengkung dan menghampiri had itu dengan perlahan. Masalahnya, daripada bahagian awal graf, anda tidak dapat membezakan sama ada anda sedang melihat lengkung eksponen atau lengkung S. Hal itu hanya akan kelihatan kemudian.

Mengikut pola yang sama, nilai juga boleh menurun. Nilai itu hanya perlu didarab dengan nombor yang kurang daripada satu dalam setiap tempoh, seperti wabak dengan R = 0.8. Contoh klasik dalam buku teks ialah pereputan radioaktif. Sebagai ganti masa penggandaan, kita menggunakan separuh hayat, iaitu masa yang diambil oleh separuh daripada bahan untuk mereput. Sesium-137 yang radioaktif mempunyai separuh hayat kira-kira 30 tahun. Selepas 30 tahun, separuh daripadanya masih tinggal, selepas 60 tahun suku, dan selepas 90 tahun satu per lapan. Secara matematik, jumlahnya hanya dibahagi dua berulang kali dan tidak pernah mencapai sifar. Namun, bahan terdiri daripada atom, jadi selepas kira-kira dua ribu tahun, atom terakhir dalam satu gram sesium juga akan mereput.

Lihat juga

• Fungsi eksponen
• Logaritma
• Faedah kompaun