Domain fungsi

Domain fungsi ialah semua nilai yang dibenarkan untuk menggantikan objek x dalam fungsi f(x) supaya fungsi itu bermakna.

Pengertian domain fungsi

Contoh mudah ialah fungsi f(x) = 1/x. Domainnya ialah set semua nilai yang, apabila digantikan ke dalam fungsi 1/x, menghasilkan ungkapan yang sah.

Untuk mengetahui maksud “ungkapan yang sah”, kita perlu mengetahui sifat fungsi dan operasi. Dalam fungsi kita, pemboleh ubah x menjadi pembahagi, iaitu x berada dalam penyebut pecahan. Dengan nilai apakah kita boleh membahagi? Dengan semua nilai kecuali sifar. Kita tidak boleh membahagi dengan sifar, jadi sifar tidak boleh berada dalam penyebut pecahan. Pembahagian tidak mempunyai sekatan lain.

Oleh itu, kita boleh menggantikan x dengan sebarang nombor nyata kecuali sifar. Jadi, domainnya ialah D_f = ℝ ∖ {0}. Domain biasanya ditulis dengan huruf D dan nama fungsi yang domainnya dicari ditulis sebagai subskrip.

Di sini kita telah menentukan domain yang terbesar. Namun, kita mentakrifkan domain sebagai set nilai yang boleh menggantikan x. Oleh itu, sebarang subset bagi domain juga boleh menjadi domain. Kadangkala kita mahu mengehadkan fungsi kepada nilai x tertentu sahaja. Misalnya, dalam jujukan kita hanya menggunakan nombor asli, dan dalam trigonometri kita sering hanya menggunakan selang [0, 2π].

Namun, jika sesuatu soalan meminta anda menentukan domain fungsi, biasanya anda dikehendaki mencari domain yang terbesar.

Domain juga boleh dibaca daripada graf fungsi. Sebagai contoh, mari kita ambil graf fungsi tadi, f(x) = 1/x.

Jika anda mengunjurkan graf pada paksi-x, anda memperoleh domain. Jika titik x bukan unsur domain, garis yang serenjang dengan paksi-x dan dilukis melalui titik itu tidak akan menyilang graf. Kita lihat bahawa syarat ini hanya dipenuhi oleh sifar: tiada titik graf “di atas atau di bawah” sifar. Semua nombor lain mempunyai titik seperti itu.

Menentukan domain

Untuk menentukan domain suatu fungsi gubahan, anda perlu mengetahui domain semua fungsi yang membentuknya. Tiada cara lain. Jika saya meminta anda menentukan domain fungsi f(x) = satu(x) + dua(x), anda tidak dapat melakukannya, kerana anda tidak tahu cara fungsi satu dan dua ditakrifkan. Berikut ialah domain bagi beberapa fungsi asas:

• Logaritma mempunyai D_f = (0, ∞).
• Punca kuasa dua mempunyai D_f = [0, ∞).
• Tangen mempunyai D_f = ℝ ∖ {π/2 + kπ}; k ∈ ℤ.
• Kotangen mempunyai D_f = ℝ ∖ {kπ}; k ∈ ℤ.
• Fungsi eksponen mempunyai D_f = ℝ.
• Fungsi linear dan fungsi kuadratik mempunyai D_f = ℝ.

Jika hanya terdapat satu fungsi, tugasnya sangat mudah. Kita tentukan domain fungsi itu, lihat hujahnya, kemudian bentukkan persamaan atau ketaksamaan yang sesuai. Contohnya: tentukan domain fungsi log(3x + 2). Hujah logaritma mesti positif, jadi 3x + 2 > 0. Ini ialah ketaksamaan linear yang mudah diselesaikan:

$$\begin{array}{rcl}3x+2& >& 0\\ 3x& >& -2\\ x& >& -\frac{2}{3}\end{array}$$

Domainnya terdiri daripada semua x yang memenuhi ketaksamaan ini, jadi D_f = (−2/3, ∞).

Tentukan domain bagi $\sqrt{2x+8}$.

Nombor di bawah tanda punca kuasa dua tidak boleh negatif, jadi kita selesaikan ketaksamaan 2x + 8 ≥ 0 dan memperoleh hasil berikut:

$$\begin{array}{rcl}2x+8& \ge & 0\\ 2x& \ge & -8\\ x& \ge & -4\end{array}$$

Jadi, D_f = [−4, ∞).

Tentukan domain bagi 1/x².

Penyebut tidak boleh sifar, jadi kita selesaikan x² ≠ 0. Syarat ini dipenuhi apabila x ≠ 0, jadi D_f = ℝ ∖ {0}.

Penguraian fungsi gubahan

Bagi fungsi gubahan, keadaannya sedikit lebih rumit. Kita perlu mengambil kira beberapa fungsi yang saling mempengaruhi dan secara berperingkat mengecilkan domain. Ambil contoh ini:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Di sini dua syarat mesti dipenuhi. Ungkapan di bawah tanda punca kuasa mesti lebih besar daripada atau sama dengan sifar, iaitu tidak boleh negatif. Oleh itu, x ≥ 0. Namun, punca kuasa itu berada dalam penyebut pecahan, jadi nilainya tidak boleh sifar, kerana pecahan itu tidak akan bermakna. Jadi, kita perketatkan syarat tadi menjadi x > 0.

Kita akan menggunakan cara yang sama dalam contoh lain. Perkara yang penting ialah menentukan urutan fungsi bersarang. Kita perlu mengenal pasti fungsi dalam dan fungsi luar. Dalam contoh tadi, hal ini jelas: fungsi dalam ialah punca kuasa dan fungsi luar ialah pecahan. Jika kita mengira ungkapan itu secara manual, kita akan mencari punca kuasa bagi hujah x dahulu, kemudian barulah mengira pecahan. Ini cara mudah untuk mengingat: fungsi yang paling dalam ialah fungsi yang anda kira dahulu jika anda mengira secara manual. Contoh lain:

$$f(x)=\sqrt[5]{(\ln (\text{tan}(x)){)}^3}$$

Kali ini kita boleh menggunakan pendekatan yang bertentangan, iaitu mencari fungsi luar. Fungsi luar “membalut” fungsi dalam. Di sini jelas bahawa punca kuasa kelima membalut semua fungsi yang lain. Seterusnya, kuasa tiga membalut hasil logaritma, logaritma membalut tangen, dan akhirnya tangen membalut pemboleh ubah x. Mudah sahaja. Dengan kaedah tadi pula: jika kita mengetahui nilai x, kita kenakan tangen padanya dahulu. Jadi, tangen ialah fungsi yang paling dalam. Hasilnya dikenakan logaritma, jadi logaritma ialah fungsi kedua paling dalam. Hasil itu kemudian dinaikkan kepada kuasa tiga dan akhir sekali kita cari punca kuasa kelimanya.

Uraikan fungsi gubahan berikut:

$$f(x)=\sin \frac{42}{\ln ({10}^{2x+3})}$$

Kita mulakan dengan fungsi luar, iaitu sinus. Seterusnya pecahan, kemudian logaritma, kemudian fungsi eksponen (bayangkan penggantian ini: 10^a) dan akhir sekali fungsi linear 2x + 3.

Uraikan fungsi gubahan berikut:

$$f(x)=2^{\frac{1}{\sqrt{3x}}}$$

Fungsi luar ialah fungsi eksponen 2^a. Seterusnya pecahan, kemudian punca kuasa dalam penyebut pecahan itu, dan akhir sekali fungsi linear 3x.

Domain fungsi gubahan

Jika anda boleh menguraikan fungsi kepada fungsi luar dan fungsi dalam, menentukan domain tidak lagi menjadi masalah. Mari kita lihat terus satu contoh:

$$f(x)=\frac{47}{\sin (x)-1}$$

Kita mulakan dengan pecahan. Penyebutnya mesti bukan sifar. Kita tulis:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)-1& \ne & 0\\ \sin (x)& \ne & +1\end{array}$$

Daripada sifat fungsi sinus, kita tahu bahawa nilai 1 dicapai pada x = π/2. Oleh sebab fungsi ini berkala, kita memperoleh set M = {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ. Ini ialah set nilai yang menjadikan penyebut sifar. Nilai-nilai x ini tidak boleh digantikan ke dalam fungsi kita.

Itu belum semuanya. Kita juga perlu melihat domain fungsi sinus. Nasib baik domainnya ialah ℝ, jadi fungsi sinus tidak menambah sekatan. Sekatan hanya datang daripada penyebut pecahan. Jadi, D_f = ℝ ∖ {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ.