Fungsi eksponen

Fungsi eksponen ialah fungsi yang pemboleh ubahnya berada pada kedudukan indeks.

Takrif

Fungsi eksponen f berbentuk

$$f(x)=a^x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Simbol a ialah sebarang nombor, bukan ungkapan yang lebih rumit, dan dipanggil asas. Ungkapan x dipanggil indeks (eksponen). Jadi, asasnya boleh berupa, misalnya, integer 3, nombor nisbah $\frac{1}{2}$ atau pemalar π.

Mengapakah kita mengenakan syarat pada asas a? Jika a sama dengan satu, kita akan memperoleh fungsi pemalar, kerana “satu kuasa apa-apa pun” sentiasa satu: 1² = 1, 1⁹ = 1, 1⁶⁶⁶ = 1. Oleh sebab fungsi pemalar tidak dianggap sebagai fungsi eksponen, a mesti berbeza daripada satu, iaitu a ≠ 1.

Mengapa pula mesti a>0? Kerana kuasa dengan indeks nyata hanya ditakrifkan bagi asas positif. Misalnya, jika kita memilih x sama dengan setengah, pengiraan $a^{\frac{1}{2}}$ sama dengan mencari punca kuasa dua bagi nombor a. Padahal punca kuasa dua hanya boleh dicari bagi nombor bukan negatif.

Jika syarat-syarat ini dipenuhi, domain fungsi eksponen f(x) = a^x ialah set nombor nyata.

Fungsi kuadratik berbanding fungsi eksponen

Fungsi eksponen mudah dikelirukan dengan fungsi kuadratik. Fungsi kuadratik mempunyai pemboleh ubah sebagai asas dan nombor sebagai indeks, manakala fungsi eksponen mempunyai nombor sebagai asas dan pemboleh ubah sebagai indeks. Jadi, contoh fungsi kuadratik ialah x², x² + 4 atau x² − x + 1. Contoh fungsi eksponen pula ialah 2^x, 4^x atau π^x.

Fungsi eksponen yang penting

Fungsi eksponen yang penting ialah “fungsi eksponen asas e”. Asas fungsi ini ialah pemalar e, iaitu nombor Euler. Nombor Euler ialah nombor bukan nisbah, iaitu nombor yang perwakilan perpuluhannya tidak terhingga dan tidak berulang, jadi nilainya tidak dapat ditulis dengan tepat. Nilai hampirannya ialah e = 2.718 281 828… Fungsi ini sering ditulis sebagai exp.

Satu lagi fungsi eksponen yang penting ialah “fungsi eksponen asas 10”, yang asasnya ialah sepuluh: a = 10.

Bentuk fungsi bergantung pada nilai a

Fungsi ini mempunyai dua bentuk asas, bergantung pada nilai asas. Kita membezakan dua selang: (0, 1) dan (1, ∞). Jika a berada dalam selang pertama, iaitu kurang daripada satu, fungsi itu menyusut. Jika asas berada dalam selang kedua, fungsi itu menokok. Hal ini memang logik. Sebagai contoh, ambil $a=\frac{1}{2}$, iaitu fungsi $f(x)={\frac{1}{2}}^x$. Apakah yang berlaku jika kita menggantikan x berturut-turut dengan dua, tiga dan empat? Nilai fungsi akan semakin kecil, kerana kita memperoleh: $f(2)={\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, kemudian $f(3)={\frac{1}{2}}^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$, yang sama dengan $\frac{1}{8}$. Bagi f(4) kita memperoleh separuh daripada satu per lapan, iaitu $\frac{1}{16}$. Kita memperoleh nombor yang semakin kecil kerana asasnya kurang daripada satu. Jika kita mendarab dengan nombor yang kurang daripada satu, hasilnya sentiasa lebih kecil.

Sebaliknya, jika a>1, hasil pendaraban menjadi lebih besar. Jika kita mempunyai fungsi eksponen f(x) = 3^x, bagi nilai dua, tiga dan empat kita memperoleh: f(2) = 3² = 3 · 3 = 9. Bagi tiga: f(3) = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. Seterusnya f(4) = 81. Jadi, fungsi ini menokok. Perhatikan bahawa walau apa pun asasnya, asalkan lebih besar daripada satu, fungsi itu tetap menokok.

Oleh itu, kita juga perlu membezakan dua jenis graf bergantung pada nilai asas a.

Graf fungsi eksponen

Daripada bahagian sebelum ini, kita tahu bahawa graf mempunyai dua bentuk asas bergantung pada nilai asas a. Pertama, kita lihat graf bagi nilai a dalam selang (0, 1).

Kita lihat bahawa fungsi ini menyusut dan melalui titik (0, 1). Hal ini bukan kebetulan. Daripada sifat kuasa, kita tahu bahawa apa-apa nombor kuasa sifar ialah satu: ${\frac{1}{2}}^0=1,5^0=1,{33}^0=1$ dan sebagainya. Oleh itu, setiap lengkung fungsi eksponen mesti melalui titik ini, termasuk lengkung fungsi eksponen dengan a>1, seperti yang ditunjukkan dalam rajah berikut:

Sifat fungsi eksponen

• Domain ialah set semua nombor nyata
• Julat ialah selang (0, ∞)
• Terbatas di bawah, a^x>0. Tidak terbatas di atas.
• Tiada maksimum dan tiada minimum.

Sama ada fungsi ini menokok atau menyusut bergantung pada nilai a. Jika a berada dalam selang (0, 1), fungsi ini menyusut. Jika asas berada dalam selang (1, ∞), fungsi ini menokok.

Pertumbuhan eksponen

Istilah “pertumbuhan eksponen” agak kerap digunakan juga dalam bahasa harian. Biasanya orang mahu mengatakan bahawa sesuatu meningkat dengan sangat cepat. Contoh klasik ialah pembiakan bakteria. Bayangkan satu bakteria yang membiak dengan membelah dua setiap kali. Cara pembiakan ini boleh digambarkan dengan fungsi eksponen f(x) = 2^x. Nilai fungsi memberikan bilangan bakteria selepas x pusingan pembelahan.

Contoh: pada permulaan (tiada pembelahan lagi, x = 0) kita mempunyai satu bakteria, iaitu 2⁰ = 1. Selepas pusingan pertama, kita mempunyai 2¹ = 2, iaitu dua bakteria. Hal ini betul: satu bakteria membelah menjadi dua. Sekarang kedua-dua bakteria itu membelah, jadi kita mempunyai 2² = 4, iaitu empat bakteria. Setiap satu membelah lagi, jadi selepas pusingan ketiga kita sudah mempunyai 2³ = 8 bakteria. Dan seterusnya.

Walaupun tidak kelihatan begitu, pembiakan ini sangat cepat. Berapakah bilangan bakteria selepas pusingan kesepuluh? 2¹⁰ = 1024. Itu sudah nombor yang agak besar. Selepas dua puluh pusingan: 2²⁰ = 1 048 576. Selepas tiga puluh pusingan, bilangannya sudah melebihi satu bilion.

Kadar ini jauh lebih tinggi berbanding fungsi kuadratik biasa. Jika kita membandingkan kadar pertumbuhan fungsi eksponen f(x) = 2^x dengan fungsi kuadratik g(x) = x², fungsi eksponen jelas menang. Kita sudah mengetahui nilai fungsi f pada titik x = 20, sedangkan nilai fungsi kuadratik g pada titik x = 20 ialah g(20) = 20² = 400. Nilai ini jauh lebih kecil daripada 1 048 576.