Fungsi genap dan fungsi ganjil

Bagi fungsi, kita boleh menentukan sama ada fungsi itu genap atau ganjil. Dalam kes yang ekstrem, fungsi boleh menjadi genap dan ganjil serentak, tetapi biasanya fungsi bukan genap dan bukan ganjil.

Fungsi genap

Fungsi ialah fungsi genap jika fungsi itu memenuhi peraturan yang mudah: jika anda memasukkan unsur x dan kemudian songsangan tambahnya −x, fungsi itu mesti memulangkan nilai yang sama. Contoh tipikal fungsi genap ialah f(x) = x². Jika anda memanggilnya dengan hujah 6 dan −6, anda memperoleh f(6) = 36 dan f(−6) = 36. Hujah itu hanya berbeza dari segi tanda, jadi hasilnya sama.

Takrif formalnya boleh ditulis seperti berikut. Jika fungsi f genap, fungsi itu mesti memenuhi

$$\mathrm{\forall }x\in D_f:f(x)=f(-x)$$

Bagi semua x dalam domain fungsi, nilai fungsi mesti sama walaupun kita memanggil fungsi dengan hujah yang bertentangan tanda, iaitu −x.

Bagaimanakah fungsi genap kelihatan pada graf? Jika kita memasukkan x dan −x ke dalam fungsi, kita memperoleh y yang sama. Jadi, jika kita memikirkannya: x dan −x sama jauh dari asalan pada paksi-x, dan kedua-duanya mempunyai koordinat-y yang sama. Maksudnya, graf fungsi genap simetri pada paksi-y. Sebagai ilustrasi, berikut ialah graf fungsi x²:

Antara fungsi biasa, fungsi berikut ialah fungsi genap: kosinus dan fungsi berbentuk f(x) = x^a dengan a nombor genap. Nilai mutlak menjadikan fungsi yang asalnya ganjil sebagai fungsi genap, misalnya f(x) = |x|, f(x) = |x³|, f(x) = |1/x|.

Fungsi ganjil

Fungsi ganjil mesti memenuhi peraturan yang serupa dengan fungsi genap. Fungsi f ialah fungsi ganjil jika fungsi itu memenuhi peraturan ini:

$$\mathrm{\forall }x\in D_f:f(-x)=-f(x)$$

Dalam amalan, hal ini bermaksud bahawa jika titik (a, b) terletak pada graf fungsi ganjil, maka titik dengan koordinat yang bertentangan tanda, iaitu (−a, −b), juga mesti terletak pada graf itu. Contoh fungsi ganjil ialah fungsi f(x) = x³. Jika kita menggantikan x dengan dua, kita memperoleh:

$$f(-x)=f(-2)=(-2{)}^3=-8$$

Bagi ungkapan kedua pula, kita memperoleh

$$-f(x)=-f(2)=-(2^3)=-8$$

Bagaimanakah hal ini kelihatan pada graf? Apakah maksudnya jika titik (a, b) dan juga (−a, −b) terletak pada graf fungsi? Jika anda melukisnya, anda akan dapati bahawa graf seperti ini simetri pada asalan sistem koordinat, iaitu titik (0, 0). Graf fungsi f(x) = x³ ditunjukkan dalam rajah berikut.

Antara fungsi biasa, fungsi berikut ialah fungsi ganjil: f(x) = x^a dengan a ganjil, dan f(x) = ax dengan a sebarang nombor nyata (iaitu fungsi linear tanpa sebutan pemalar). Selain itu, f(x) = a/x dan sinus.

Menyemak fungsi genap

Bagaimanakah kita menyemak sama ada fungsi itu genap? Kita perlu menggunakan takrif. Ambil fungsi yang sudah dikenali, f(x) = x². Kita semak menggunakan takrif, iaitu f(x) = f(−x). Jika fungsi ini genap, fungsi ini mesti memenuhi:

$$x^2=(-x{)}^2$$

Menurut peraturan kuasa, negatif x kuasa dua boleh ditulis seperti berikut:

$$x^2=(-1{)}^2\cdot x^2$$

Negatif satu kuasa dua ialah satu, jadi kita memperoleh semula x² sahaja.

$$x^2=1\cdot x^2$$

Adakah fungsi berikut fungsi genap?

$$f(x)=\left|\frac{1}{x}\right|$$

Kita gantikan ke dalam takrif:

$$\left|\frac{1}{x}\right|=\left|\frac{1}{-x}\right|$$

Kita boleh menyusun semula pecahan ini. Daripada mengenakan nilai mutlak pada keseluruhan pecahan, kita mengenakannya pada pengangka dan penyebut secara berasingan.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|-x|}$$

Kita permudahkan penyebut pecahan kedua, kerana menurut takrif nilai mutlak, |x| = |−x| sentiasa benar.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|x|}$$

Sekarang kedua-dua belah adalah sama.

Menyemak fungsi ganjil

Bagaimanakah kita menyemak sama ada fungsi itu ganjil? Sekali lagi menggunakan takrif. Takrif menyatakan bahawa fungsi f ialah fungsi ganjil jika

$$f(-x)=-f(x)$$

Mari kita mulakan dengan fungsi f(x) = x³. Kita gantikan ke dalam takrif:

$$(-x{)}^3=-x^3$$

Sebelah kiri boleh ditulis dengan cara yang sama seperti dalam contoh tadi:

$$(-1{)}^3\cdot x^3=-x^3$$

Negatif satu kuasa tiga ialah negatif satu:

$$-1\cdot x^3=-x^3$$

Jadi, kedua-dua belah adalah sama:

$$-x^3=-x^3$$

Fungsi ini ialah fungsi ganjil.

Adakah fungsi berikut fungsi ganjil?

$$f(x)=\frac{2}{x}$$

Kita gantikan ke dalam takrif:

$$\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}$$

Tidak banyak yang perlu dipermudahkan. Kita hanya mengeluarkan tanda negatif dalam pecahan pertama ke hadapan pecahan itu, dan kedua-dua belah menjadi sama:

$$-\frac{2}{x}=-\frac{2}{x}$$

Fungsi ini ialah fungsi ganjil.

Bukan genap dan bukan ganjil

Fungsi tidak semestinya genap atau ganjil. Mungkin kebanyakan fungsi adalah seperti ini. Sebagai contoh, ambil fungsi linear f(x) = x + 1. Kita cuba gantikan ke dalam takrif fungsi genap:

$$x+1=-x+1$$

Kita ungkapkan x:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& -x+1\\ 2x+1& =& 1\\ 2x& =& 0\end{array}$$

Persamaan ini tidak benar bagi semua x, hanya bagi sesetengah nilai, jadi fungsi ini bukan fungsi genap. Sekarang kita semak sama ada fungsi ini ganjil:

$$\begin{array}{rcl}-x+1& =& -(x+1)\\ -x+1& =& -x-1\\ 0x& =& -2\end{array}$$

Persamaan ini malah tiada penyelesaian langsung, jadi fungsi ini bukan fungsi ganjil.

Fungsi genap dan ganjil serentak

Adakah wujud fungsi yang genap dan ganjil serentak? Adakah wujud graf fungsi yang simetri pada paksi-y dan juga pada asalan? Jawapannya ya. Terdapat tepat satu fungsi yang genap dan ganjil serentak, iaitu fungsi pemalar f(x) = 0. Graf fungsi ini bertindih dengan paksi-x.

Catatan: sebenarnya terdapat fungsi seperti ini yang tak terhingga banyaknya. Kita boleh mentakrifkan fungsi g(x) dengan rumus yang sama tetapi pada domain yang berlainan. Misalnya, kita boleh mempunyai fungsi g(x) = 0 yang domainnya hanya nombor asli. Fungsi ini berbeza daripada fungsi f(x) yang ditakrifkan pada set nombor nyata. Namun, rumusnya tetap sama.

Operasi pada fungsi genap dan ganjil

Keadaan menjadi menarik apabila kita mempunyai dua fungsi genap atau ganjil dan cuba menambah, mendarab atau menggabungkannya dengan cara lain. Misalnya, hasil tambah dua fungsi genap sekali lagi ialah fungsi genap. Terdapat banyak peraturan dan gabungan seperti ini.