Had jujukan

Had jujukan ialah nombor yang dihampiri oleh suatu jujukan di ketakterhinggaan. Had jujukan boleh dianggap sebagai pendahulu kepada had fungsi, yang sangat penting dalam analisis matematik.

Pengenalan ringkas kepada had

Had jujukan ialah nombor yang terus-menerus dihampiri oleh suatu jujukan nombor (dan mungkin akhirnya dicapai juga). Cara terbaik untuk memahaminya ialah melalui rajah. Rajah berikut menunjukkan jujukan yang ditakrifkan oleh rumus $a_n=\frac{1}{n}$:

Dalam rajah itu, kita lihat bahawa sebutan-sebutan jujukan semakin menghampiri sifar. Semakin besar n, semakin kecil nilai a_n dan semakin hampir nilai itu kepada sifar. Graf tidak akan menyentuh paksi mengufuk kerana persamaan 1/n = 0 tidak akan benar (dengan n ialah nombor asli). Namun begitu, kita ingin mengetahui nombor yang dihampiri oleh seluruh jujukan. Soalannya boleh berbunyi begini: jika kita terus menambah n, nombor apakah yang dihampiri oleh nilai jujukan? Jika n menghampiri infiniti, apakah nilai sebutan jujukan? Inilah yang dikaji oleh had. Had ditulis dengan simbol lim. Di bawahnya ditulis nilai yang dihampiri oleh n. Bagi jujukan, nilai itu sentiasa infiniti. Tatatanda penuh boleh kelihatan seperti berikut:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0.$$

Tatatanda ini dibaca: “Had jujukan satu per n apabila n menghampiri infiniti ialah sifar.” Berikut beberapa contoh mudah yang lain. Apakah had jujukan a_n = n? Jujukan ini mudah: a₁ = 1, a₄₂ = 42, a₅₈₇₆₆ = 58766 dan seterusnya. Nombor apakah yang dihampiri oleh sebutan jujukan ini di infiniti? Semakin besar n, semakin besar a_n. Maka, hadnya ialah infiniti.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n=\mathrm{\infty }$$

Anda mungkin dapat meneka secara intuitif bahawa had jujukan a_n = n² juga infiniti. Jujukan ini menokok lebih pantas daripada jujukan sebelumnya. Sebaliknya, jujukan $a_n=\frac{1}{2n}$ menyusut ke arah sifar dengan lebih pantas daripada jujukan contoh yang pertama.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2=\mathrm{\infty },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2n}=0$$

Takrif had terhingga jujukan

Kini tiba masanya untuk mentakrifkan had jujukan dengan tepat.

Jujukan ${\{a_n\in \mathbb{R}\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ mempunyai had terhingga a (menumpu kepada had a ∈ ℝ, iaitu jujukan menumpu) jika bagi setiap ϵ > 0 wujud n₀ ∈ ℕ dengan keadaan bagi semua n>n₀ berlaku |a_n − a| < ϵ.

Tatatanda yang digunakan ialah:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$$

$$a_n\to a\text{ apabila }n\to \mathrm{\infty }$$

$${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\to a$$

Takrif ini kemas, dan sekarang mari kita terangkan maksudnya. Untuk tujuan ini, kita memerlukan graf suatu jujukan. Kita pilih jujukan berikut:

$$a_n=\frac{5n}{n+1}$$

Grafnya ialah:

Daripada graf ini, jelas bahawa jujukan menumpu kepada lima, iaitu had jujukan ini ialah lima. Sebelum saya menggunakan jujukan ini untuk menerangkan takrif had, saya tambahkan sedikit warna pada graf:

Kita sudah tahu bahawa had jujukan ini ialah lima. Bahagian pertama takrif menyebut ϵ>0, iaitu suatu epsilon yang lebih besar daripada sifar. Di sini, epsilon mewakili kejiranan had, iaitu kejiranan suatu titik. Epsilon mesti lebih besar daripada sifar kerana kejiranan tidak boleh negatif atau sifar. Dalam rajah, kejiranan ini ditunjukkan oleh garis hijau mengufuk pada paksi-y. Titik itu ialah nilai lima, dan kejiranannya ialah kawasan antara garis-garis hijau pada paksi-y. Kejiranan ditakrifkan dalam kedua-dua arah, ke atas dan ke bawah. Kita akan memerlukan jalur yang dibatasi oleh garis hijau mengufuk ini. Dalam rajah, ϵ = 1.

Matlamat kita ialah mencari nombor n₀ pada paksi mengufuk di bawah yang membahagikan paksi itu kepada dua bahagian. Syaratnya, semua sebutan jujukan di sebelah kanan nombor n₀ mesti berada di dalam jalur hijau itu. Kedudukan sebutan di sebelah kiri n₀ tidak penting, dan kita tidak perlu mencari n₀ yang terkecil yang memenuhi takrif ini. Dalam rajah, n₀ = 12.

Apakah sebenarnya maksud sebutan jujukan berada di dalam jalur hijau? Maksudnya, jarak sebutan itu daripada had (dalam kes ini, daripada nombor lima) paling banyak epsilon. Inilah yang dinyatakan oleh takrif: |a_n − a|<ϵ. Ingat bahawa a ialah had, jadi dalam kes kita a = 5. Mari kita hitung nilai sebutan kelima belas:

$$a_{15}=\frac{5\cdot 15}{15+1}=4.6875$$

Kemudian kita gantikan nilai ini ke dalam hubungan |a_n − a|<ϵ:

$$\begin{array}{rcl}|a_n-a|& <& ϵ\\ |4.6875-5|& <& 1\\ 0.3125& <& 1\end{array}$$

Ketaksamaan ini benar, jadi titik ini memenuhi takrif. Nombor 0.3125 ialah jarak antara sebutan kelima belas jujukan dengan had jujukan. Dalam rajah, jarak ini ditandakan dengan tembereng garis ungu yang pendek. Jika kita menguji semua nombor yang lebih besar daripada n₀ dengan cara ini, kita akan dapati bahawa ketaksamaan ini sentiasa benar. Maka, nombor a = 5 memenuhi takrif had bagi jujukan ini.

Namun, terdapat satu perkara penting dalam takrif itu. Takrif itu menyatakan bahawa bagi setiap ϵ>0, kita dapat mencari nombor n₀ tersebut. Hal ini bermakna bagi epsilon yang besar, tetapi yang lebih penting, bagi epsilon yang sekecil mana pun. Walau sekecil mana pun epsilon yang kita pilih (asalkan masih positif), kita tetap mesti dapat mencari n₀.

Jadi, mari kita kecilkan epsilon kepada nilai yang lebih kecil. Apakah yang berlaku? Jalur hijau yang perlu dimasuki oleh sebutan jujukan menjadi lebih sempit. Hal ini tidak menjadi masalah. Kita hanya perlu menambah nilai n₀, iaitu menganjakkannya ke kanan. Rajah berikut menunjukkan pengecilan dan anjakan ini:

Anjakan ini menggambarkan kelakuan had dengan baik. Kita menjangkakan bahawa sebutan jujukan semakin menghampiri had, iaitu jaraknya daripada had terus berkurang. (Jarak daripada had ialah nilai yang kita hitung sebentar tadi, iaitu garis ungu dalam rajah.) Jika jarak itu terus berkurang dan sebutan-sebutan menghampiri had, suatu ketika sebutan itu pasti berada lebih dekat kepada had daripada epsilon. Dengan itu, kita telah menemukan nilai n₀. Sebaliknya, jika kita memilih epsilon yang lebih besar, kita boleh memilih n₀ yang lebih kecil:

Pada awalnya, saya menyebut bahawa jujukan terus menghampiri hadnya tetapi tidak pernah menyentuhnya. Namun, jujukan boleh juga menyentuh hadnya, malah jujukan boleh mencapai nilai hadnya sebanyak tak terhingga kali. Contohnya, jujukan malar a_n = 1 bernilai satu pada setiap titik, dan hadnya juga satu.

Contoh had yang tidak wujud

Mari kita ubah takrif jujukan supaya sepadan dengan graf berikut (rumusnya tidak penting buat masa ini):

Jujukan ini berkelakuan seperti jujukan dalam kes sebelumnya, kecuali sebutan kesepuluh, kedua puluh, ketiga puluh dan seterusnya (anggaplah sebutan-sebutan ini sentiasa sama dengan 3.5, iaitu tidak menokok dan tidak menyusut). Sebutan-sebutan ini seolah-olah tidak mengikut rentak. Dalam rajah, saya lukis dua kejiranan, iaitu epsilon satu dan epsilon dua. Bagi ϵ₂ (kejiranan epsilon yang lebih besar), kita dapat mencari n₀ dengan keadaan semua sebutan berikutnya berada di dalam jalur hijau. Tetapi jika kita mengecilkan epsilon kepada ϵ₁, kita tidak lagi dapat mencari n₀ seperti itu kerana setiap sebutan kesepuluh berada di luar kejiranan ini. Jujukan ini tidak mempunyai had lima (dan tidak mempunyai had pada mana-mana nilai lain).

Contoh had yang lain

Contoh jujukan yang tidak mempunyai had ialah a_n = sin n, seperti dalam rajah berikut:

Kita lihat bahawa jujukan ini tidak menumpu kepada mana-mana nombor. Sebutan-sebutannya terus menyusut dan menokok silih berganti. Jujukan seperti ini dipanggil jujukan mencapah.

Setakat ini, kita hanya melihat jujukan menumpu yang menghampiri hadnya dari satu sisi. Namun, jujukan boleh juga menghampiri hadnya dari kedua-dua sisi, seperti jujukan berikut:

$$a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$$

Jujukan ini juga menumpu kepada sifar.

Had tak terhingga

Setakat ini, kita membincangkan had terhingga, iaitu kes apabila jujukan menghampiri suatu nombor nyata. Tetapi bagaimana pula dengan jujukan a_n = n? Nombor nyata manakah yang dihampiri oleh jujukan ini? Perhatikan grafnya:

Jelas bahawa jujukan ini tidak menghampiri mana-mana nombor nyata, tetapi menokok tanpa batas, iaitu menuju infiniti. Jujukan seperti ini mempunyai had infiniti, dan had seperti ini dipanggil had tak terhingga. Takrif had tak terhingga mudah sahaja. Apakah maksud jujukan menuju infiniti? Maksudnya, jika kita memilih sebarang nombor nyata A, sebesar mana pun, kita sentiasa dapat mencari indeks n₀ dengan keadaan semua sebutan jujukan selepas sebutan ini lebih besar daripada nombor A. Ringkasnya, jika kita memilih batas A, maka mulai suatu bahagian jujukan, semua sebutan lebih besar daripada A. Secara matematik:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }A\in \mathbb{R}\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:n>n_0\Rightarrow a_n>A$$

Pada awalnya, kita ada “bagi semua A”, iaitu bagi semua batas yang mungkin kita pilih. Kemudian terdapat pengkuantiti kewujudan yang menyatakan bahawa mesti wujud indeks n₀ dengan keadaan jika n lebih besar daripada n₀, maka nilai sebutan a_n lebih besar daripada batas yang kita pilih pada awalnya, iaitu A. Takrif bagi had negatif infiniti serupa.

Kaedah menghitung had

Kita sudah mengetahui beberapa kaedah asas untuk menghitung had jujukan. Pelbagai variasi jujukan a_n = n, misalnya

$$a_n=2n,a_n=\frac{n}{2}$$

mempunyai had positif infiniti. Sebaliknya, jujukan seperti

$$a_n=\frac{1}{n},a_n=\frac{15}{4n}$$

mempunyai had sifar. Sekarang kita lihat beberapa hubungan asas untuk menghitung dengan jujukan. Andaikan

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b,a,b\in \mathbb{R}.$$

Maka, hubungan berikut juga berlaku:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(c_1{a}_n+c_2{b}_n)=c_{1}a+c_{2}b\mathrm{\forall }{c}_1,c_2\in \mathbb{R}$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=a\cdot b;\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b};b\ne 0.$$

Rumus pertama boleh digunakan dalam contoh berikut:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n}+5)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}5=0+5=5$$

Bagaimana pula dengan contoh seperti ini?

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}$$

Di sini timbul masalah kerana ungkapan pada pengangka menghampiri infiniti, dan ungkapan pada penyebut juga menghampiri infiniti. Jika pengangka dan penyebut kedua-duanya infiniti, kita memperoleh bentuk tak tentu. Ringkasnya, kita tidak dapat menentukan nilai ungkapan ini:

$$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$

Tugas kita ialah mengubah ungkapan itu supaya bentuk tak tentu ini tidak muncul. Jika kita berjaya menghapuskan pemboleh ubah n daripada penyebut atau pengangka, kita mungkin memperoleh ungkapan yang mengandungi hanya satu infiniti.

Mula-mula, kita bahagikan setiap sebutan dengan pemboleh ubah n, iaitu kita darabkan pecahan itu dengan 1/n pada pengangka dan penyebut.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{3n+1}{2n}\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}$$

Kini penyebut tidak lagi mengandungi pemboleh ubah n, jadi ungkapan pada penyebut tidak menghampiri infiniti. Mengikut rumus-rumus tadi, kita boleh memecahkan seluruh had kepada beberapa had yang lebih kecil: kita hitung had setiap ungkapan secara berasingan, kemudian kita tambah dan bahagikan hasilnya.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}$$

Kini kita dapat menghitung semua had ini. Mari kita lakukannya.

$$\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

Had jujukan ini ialah 1.5.

Mari kita cuba contoh lain:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}$$

Di sini kita boleh menggunakan kaedah yang sama seperti tadi, atau kita boleh menaakul secara logik. Fungsi n² menarik jujukan ke atas jauh lebih pantas daripada fungsi n menariknya ke bawah. Fungsi n² jauh lebih kuat, jadi seluruh ungkapan mempunyai had infiniti. Mari kita hitung juga. Sekali lagi, kita bahagikan setiap ungkapan dengan n:

$$\begin{array}{rcl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}& =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+\frac{1}{n}}{2}\\ & =& \frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}\\ & =& \frac{\mathrm{\infty }+0}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Sedikit penjelasan tentang sebab kita membahagi dengan n dan bukan, misalnya, dengan n², yang juga terdapat dalam ungkapan itu. Seperti yang kita tahu, matlamat kita ialah menghapuskan suatu pemboleh ubah. Namun, kita tahu bahawa nilai penyebut tidak boleh sifar, kerana kita akan memperoleh bentuk tak tentu sekali lagi. Kita darabkan pecahan dengan ungkapan yang tidak menghasilkan sifar pada penyebut. Dalam kes ini, kita menggunakan ungkapan dengan kuasa tertinggi pada penyebut.

Jadi, kita boleh mengatakan bahawa had ditentukan oleh fungsi yang menokok lebih pantas dari segi tertib. Tetapi berhati-hati dengan tanda. Apabila menghitung dengan infiniti pun, tanda mesti dikekalkan:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{-2n}=\dots =\frac{\mathrm{\infty }+0}{-2}=-\mathrm{\infty }$$