Keselanjaran fungsi

Seperti yang dapat diteka secara intuitif, keselanjaran fungsi menunjukkan sama ada fungsi itu selanjar pada suatu titik atau terputus di situ. Keselanjaran ditakrifkan dan dihitung menggunakan had fungsi. Jika anda belum menguasai had, anda akan sukar mengikuti bahagian ini.

Takrif keselanjaran fungsi

Yang menghairankan, keselanjaran agak mudah ditakrifkan dan senang difahami jika anda benar-benar memahami had. Berikut takrif keselanjaran fungsi:

Fungsi f(x) dikatakan selanjar pada titik a dalam domain fungsi f jika:

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$$

Kita juga boleh mentakrifkan keselanjaran dari kiri dan dari kanan dengan menggantikan had itu dengan had kiri atau had kanan. Perhatikan perkara berikut:

• Setakat ini, kita hanya mentakrifkan keselanjaran fungsi f pada suatu titik. Jika fungsi f selanjar pada semua titik dalam domainnya, kita boleh mengatakan bahawa fungsi f ialah fungsi selanjar pada seluruh domainnya.
• Titik a dalam takrif keselanjaran mesti merupakan titik had.
• Supaya fungsi selanjar pada titik a, nilai f(a) mesti wujud (nilai a mesti terletak dalam domain fungsi), had $\underset{x\to a}{lim}f(x)$ mesti wujud, dan kedua-duanya mesti sama.
• Fungsi yang selanjar pada suatu titik juga selanjar dari kiri dan dari kanan pada titik itu. Seperti dalam kes had, fungsi boleh selanjar pada suatu titik dari kiri sahaja atau dari kanan sahaja. Jika had kiri dan had kanan berbeza, fungsi tidak selanjar pada titik itu.

Apakah yang dinyatakan oleh takrif ini? Pertama, fungsi mesti tertakrif pada titik itu. Jika fungsi tidak tertakrif pada suatu titik, fungsi itu pasti tidak selanjar pada titik tersebut. Jika fungsi tertakrif, kita melihat hadnya. Jika fungsi menghampiri nilai fungsi pada titik itu dari kanan dan dari kiri, fungsi itu selanjar pada titik tersebut. Jika had berbeza daripada nilai fungsi, fungsi itu tidak selanjar pada titik tersebut.

Contoh mudah: dalam rencana had fungsi, kita telah melihat fungsi $f(x)=\frac{x}{3}$, iaitu suatu fungsi linear yang mudah. Bagi sebarang titik a ∈ ℝ,

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a).$$

Maka, fungsi f selanjar pada seluruh domainnya. Contohnya, jika kita menggantikan a dengan nombor 6, kita peroleh:

$$\begin{array}{rcl}f(6)& =& 2\\ \underset{x\to 6}{lim}\frac{x}{3}& =& 2\end{array}$$

Titik ketakselanjaran

Jika fungsi tidak selanjar pada titik a, fungsi itu tak selanjar pada titik tersebut. Hal ini tidaklah mengejutkan. Namun, kita membezakan beberapa jenis titik ketakselanjaran, bergantung pada sejauh mana kita perlu “membaiki graf fungsi” supaya fungsi itu menjadi selanjar.

Terdapat tiga jenis asas ketakselanjaran:

Titik ketakselanjaran boleh tanggal

Titik ketakselanjaran boleh tanggal ialah titik yang kedua-dua had sebelahnya wujud dan sama, iaitu fungsi mempunyai had pada titik itu, tetapi had ini berbeza daripada nilai fungsi atau fungsi tidak tertakrif pada titik itu. Jika a ialah titik ketakselanjaran boleh tanggal bagi fungsi f(x), maka:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x),\text{ tetapi }\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne f(a)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Sebagai contoh, kita lihat fungsi nilai mutlak bagi signum x. Kita ingin mengetahui sama ada fungsi ini selanjar pada titik a = 0. Berikut grafnya:

Kita lihat bahawa fungsi ini hampir selanjar sepenuhnya. Hanya pada titik sifar terdapat celah, kerana nilai fungsi di situ ialah sifar, bukan satu. Namun, had kiri dan had kanan pada titik ini sama dengan satu. Ketakselanjaran ini dipanggil boleh tanggal kerana dengan hanya mentakrifkan semula satu titik itu, kita memperoleh fungsi selanjar. Jadi, titik ketakselanjaran ini mudah ditanggalkan.

Titik ketakselanjaran jenis pertama

Titik ketakselanjaran jenis pertama ialah titik a yang kedua-dua had sebelahnya wujud dan terhingga, tetapi tidak sama. Takrifnya:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Kita tunjukkan titik ketakselanjaran ini pada fungsi mudah f(x) = sgn(x):

Sekali lagi, kita lihat bahawa fungsi ini tidak selanjar pada titik a = 0. Had kiri sama dengan −1 dan had kanan sama dengan 1:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\text{sgn}(x)& =& -1\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\text{sgn}(x)& =& 1\end{array}$$

Had kiri dan had kanan tidak sama, tetapi kedua-duanya terhingga. Jadi, titik ini ialah titik ketakselanjaran jenis pertama.

Bagi titik ketakselanjaran ini, kita takrifkan juga konsep lompatan fungsi pada suatu titik. Lompatan ialah beza antara kedua-dua had itu. Jadi, lompatan s bagi fungsi f pada titik a ialah nilai:

$$s=\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)-\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Titik ketakselanjaran jenis kedua

Titik ketakselanjaran jenis kedua ialah titik yang sekurang-kurangnya satu had sebelahnya tak terhingga, atau sekurang-kurangnya satu had sebelahnya tidak wujud. Sebagai contoh, kita lihat fungsi $f(x)=\frac{1}{x}$. Titik ketakselanjarannya terletak pada titik sifar:

Had kiri pada titik sifar ialah negatif infiniti, dan had kanan pada titik sifar ialah positif infiniti. Kedua-dua had itu tak terhingga, jadi titik ini ialah titik ketakselanjaran jenis kedua. Ketakselanjaran ini tidak dapat ditanggalkan dengan cara yang mudah.

Keselanjaran pada selang

Kita sudah mentakrifkan keselanjaran pada suatu titik, tetapi belum mentakrifkan keselanjaran pada suatu selang. Takrifnya begini: fungsi selanjar pada selang I jika fungsi itu selanjar pada setiap titik dalam selang ini. Kita perlu membezakan selang terbuka dan selang tertutup dengan teliti. Bagi selang terbuka di kedua-dua hujung, fungsi tidak semestinya selanjar pada titik hujung, kerana selang terbuka tidak mengandungi titik hujungnya. Tetapi bagi selang tertutup, fungsi mesti selanjar dari kiri atau dari kanan pada titik-titik hujung itu.

Sudah lama kita tidak melihat fungsi signum, jadi mari kita ambil fungsi signum. Fungsi ini selanjar pada selang terbuka (0, ∞). Fungsi signum memang mempunyai titik ketakselanjaran pada sifar, tetapi oleh sebab selang itu terbuka, sifar tidak perlu diuji. Pada selang [0, ∞) pula, fungsi ini tidak lagi selanjar kerana fungsi ini tidak selanjar dari kanan pada titik 0.

Mengapakah fungsi ini tidak selanjar dari kanan? Kerana had kanan sama dengan satu, sedangkan nilai fungsi sama dengan sifar. Nilai-nilai ini tidak sama, jadi fungsi ini tidak selanjar dari kanan pada titik tersebut.

Fungsi dikatakan selanjar cebis demi cebis jika fungsi itu mempunyai bilangan titik ketakselanjaran jenis pertama (atau ketakselanjaran boleh tanggal) yang terhingga. Berhati-hati: jika fungsi mempunyai tak terhingga banyaknya titik ketakselanjaran, fungsi itu tidak selanjar cebis demi cebis.

Dalam amalan, keselanjaran fungsi ditentukan menggunakan terbitan fungsi. Fungsi yang boleh dibezakan pada suatu titik juga selanjar pada titik itu.