Had fungsi

Had fungsi ialah salah satu konsep terpenting dalam analisis matematik. Had menerangkan kelakuan suatu fungsi dalam kejiranan suatu titik. Dengan had, kita boleh, misalnya, mentakrifkan keselanjaran fungsi. Had fungsi juga membantu kita memahami kelakuan fungsi di tempat fungsi itu langsung tidak tertakrif.

Kejiranan titik

Kita mulakan dengan takrif kejiranan epsilon bagi suatu titik dalam set nombor nyata. Katakan r ∈ ℝ. Kejiranan epsilon bagi titik ini, dengan ϵ > 0, ialah selang terbuka (r − ϵ, r + ϵ). Kejiranan epsilon tertusuk serupa dengannya, tetapi tidak mengandungi titik r. Kejiranan tertusuk ialah (r − ϵ, r) ∪ (r, r + ϵ). Kejiranan epsilon bagi titik a ditandakan U(a, ϵ), dan kejiranan tertusuk ditandakan R(a, ϵ).

Sebagai contoh, kita ambil nombor lima dan kejiranan-2 baginya. Kita menghitung U(5, 2), iaitu selang (5 − 2, 5 + 2) = (3, 7). Kejiranan tertusuknya ialah R(5, 2) = (3, 5) ∪ (5, 7), iaitu kejiranan yang sama tetapi tanpa titik lima. Kejiranan-2 bagi titik 5 dalam bentuk grafik:

Kejiranan-2 tertusuk kelihatan sama, cuma titik biru 5 tidak termasuk di dalamnya.

Titik had

Seterusnya, kita perlu mengetahui takrif titik had bagi suatu set. Unsur a ∈ ℝ ialah titik had bagi set M ⊆ ℝ jika dalam setiap kejiranan tertusuknya, sekecil mana pun, terdapat suatu titik daripada set M. Lebih tepat lagi:

$$\mathrm{\forall }ϵ>0:R(a,ϵ)\cap M\ne \mathrm{\varnothing }$$

Contoh: setiap nombor nyata ialah titik had bagi set nombor nyata. Jika kita memilih nombor 10, kita sentiasa dapat menemukan nombor nyata dalam sebarang kejiranan tertusuk titik ini. Bagi $ϵ=\frac{1}{100}$, kita memperoleh kejiranan tertusuk (9.99; 10) ∪ (10; 10.01). Dalam kedua-dua selang terdapat nombor nyata, malah lebih tepat lagi, terdapat tak terhingga banyaknya nombor nyata. Jadi, walau sekecil mana pun ϵ yang kita ambil, kita sentiasa memperoleh selang yang mengandungi tak terhingga banyaknya nombor nyata.

Jika kita memilih set nombor asli sebagai M, kita tidak akan menemukan sebarang titik had. Contohnya, nombor $\frac{1}{2}$ bukan titik had kerana bagi $ϵ=\frac{1}{10}$ kita memperoleh selang (0.4; 0.5) ∪ (0.5; 0.6), dan kedua-dua selang itu tidak mengandungi sebarang nombor asli.

Motivasi untuk had

Kita mulakan dengan takrif yang paling mudah, iaitu had terhingga pada titik terhingga. Mula-mula, mari kita lihat apa yang sebenarnya ingin kita hitung. Perhatikan graf fungsi signum berikut:

Jika kita mengambil titik x₁ = 3, nilai fungsi pada titik ini ialah 1, iaitu sgn(3) = 1. Pada masa yang sama, fungsi itu juga bernilai 1 bagi semua titik berhampiran, misalnya sgn(2.5) = 1 atau sgn(3.5) = 1. Jika kita menghampiri titik x₁ = 3 dari kiri atau dari kanan, nilai fungsi sentiasa sama dengan satu.

Tetapi jika kita mengambil titik x₂ = 0, maka sgn(0) = 0, sedangkan semua titik berhampiran mempunyai nilai fungsi yang berbeza! Contohnya, $\text{sgn}(-\frac{1}{2})=-1$ atau $\text{sgn}(\frac{1}{2})=1$. Nilai fungsi dari kanan menghampiri 1, manakala nilai fungsi dari kiri menghampiri −1. Akhirnya, pada titik x₂ = 0 kita memperoleh nilai fungsi 0. Satu kejutan. Nilai-nilai yang dihampiri oleh fungsi pada suatu titik inilah yang dipanggil had fungsi pada titik itu.

Takrif had terhingga pada titik terhingga

Katakan f ialah fungsi dan x₀ ∈ ℝ ialah titik had bagi domain fungsi f. Kita katakan L ∈ ℝ ialah had fungsi f pada titik x₀ jika

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Sekarang, apakah maksud takrif ini? Titik terhingga dalam kes ini bermakna titik itu ialah nombor nyata. Kemudian kita akan membincangkan had pada titik tak terhingga, iaitu infiniti. Mari kita cuba menghitung had berikut:

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=?.$$

Bagi fungsi yang semudah ini, had fungsi pada titik x₀ sama dengan nilai fungsi pada titik itu, iaitu f(x₀). Kemudian kita akan mentakrifkan dengan tepat maksud “fungsi mudah”. Sekarang mari kita lukis semuanya dalam rajah:

Garis hitam ialah graf fungsi $f(x)=\frac{x}{3}$, titik merah x₀ ialah titik tempat kita mencari had, dan titik hijau L ialah had yang diperoleh. Perhatikan bahawa had ditunjukkan pada paksi-y.

Kita teruskan mengikut takrif. Pada permulaan takrif terdapat (∀ϵ > 0), dan kemudian ϵ digunakan dalam |f(x) − L|<ϵ. Ini ialah cara matematik untuk menyatakan bahawa kita mahu semua f(x) berada pada jarak kurang daripada ϵ dari L. Jadi, kita mencari kejiranan-ϵ bagi titik L pada paksi-y. Mengikut takrif, kita boleh memilih sebarang ϵ > 0. Kita pilih, misalnya, $ϵ=\frac{3}{10}$. Kita cari titik-titik pada paksi-y yang berjarak ϵ dari titik L:

Semua titik pada paksi-y yang terletak di antara garis-garis hijau ini berada dalam kejiranan-ϵ bagi titik L. Inilah titik-titik yang disebut dalam takrif.

Takrif diteruskan dengan ungkapan (∃δ>0), yang kemudian digunakan dalam ungkapan 0<|x − x₀|<δ. Kita katakan bahawa beza x − x₀ mesti kurang daripada δ. Oleh sebab x, x₀ terletak pada paksi-x, kita juga menunjukkan nilai δ pada paksi-x. Ungkapan 0<|x − x₀|<δ pula meminta kita mengambil semua x yang jaraknya dari x₀ kurang daripada δ tetapi lebih besar daripada sifar, iaitu x ≠ x₀. Maksudnya, tatatanda ini mewakili kejiranan-δ tertusuk bagi titik x₀. Oleh itu, takrif had boleh ditulis semula secara setara menggunakan kejiranan titik:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x\in R(x_0,\delta )\Rightarrow f(x)\in U(L,ϵ))$$

Kita kembali kepada takrif sebelumnya dan meneruskan lukisan kita. Untuk menggambarkannya, kita memerlukan bahagian takrif yang seterusnya:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Jadi, bagi semua x dalam kejiranan-δ tertusuk bagi titik x₀, suatu syarat mesti dipenuhi. Kita tambahkan kejiranan-δ tertusuk bagi titik x₀ ke dalam rajah, misalnya bagi $\delta =\frac{3}{2}$:

Semua x yang terletak di antara garis putus-putus merah termasuk dalam kejiranan-δ bagi x₀, kecuali titik x₀ itu sendiri. Mari kita lihat sekali lagi syarat tadi:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Bagi semua x dalam kejiranan-δ tertusuk bagi titik x₀, semua nilai fungsi f(x) mesti terletak dalam kejiranan-ϵ bagi titik L. Jadi, kita ambil semua x dalam kejiranan-δ tertusuk bagi titik x₀ dan menghitung nilai fungsinya. Nilai-nilai fungsi ini ditunjukkan oleh tembereng garis biru dalam rajah berikut:

Titik x₀ tidak termasuk dalam kejiranan tertusuk, sebab itulah terdapat bulatan kosong di tempat itu. Takrif menyatakan bahawa semua titik biru ini mesti berada dalam kejiranan-ϵ bagi titik L. Dengan menggunakan warna dalam rajah: semua titik biru mesti terletak di antara garis-garis hijau yang mewakili kejiranan-ϵ. Adakah syarat ini dipenuhi?

Sudah tentu tidak. Contohnya, bagi $x=\frac{16}{10}$ jelas kita memperoleh titik biru yang tidak terletak di antara garis-garis hijau, iaitu tidak berada dalam kejiranan-ϵ bagi titik L.

Hal ini tidak menjadi masalah. Takrif menyatakan bahawa bagi setiap kejiranan-ϵ bagi titik L mesti wujud suatu kejiranan-δ dengan keadaan … baki syarat itu. Maksudnya, cukuplah jika wujud satu kejiranan-δ seperti itu. Jelas bahawa $\delta =\frac{3}{2}$ bukan pilihan yang baik, tetapi kita boleh mencuba δ yang lain, misalnya $\delta =\frac{1}{2}$. Rajah akan berubah seperti berikut:

Sekali lagi, kita semak sama ada semua nilai fungsi bagi semua x dalam kejiranan-δ tertusuk bagi titik x₀ terletak dalam kejiranan-ϵ bagi titik L. Ringkasnya, adakah semua titik biru berada di antara garis-garis hijau? Ya, sekarang semuanya berada di situ.

Adakah ini bermakna L ialah had fungsi pada titik x₀? Belum tentu, kerana takrif menyatakan (∀ϵ > 0) …. Setakat ini, kita hanya menyemak takrif bagi satu ϵ tertentu, dan masih ada … tak terhingga banyaknya yang belum disemak.

Dengan kata lain, untuk benar-benar menunjukkan bahawa $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1$, kita perlu mencari, bagi setiap kejiranan-ϵ, suatu kejiranan-δ yang memenuhi syarat tadi. Daripada rajah, kita lihat bahawa kejiranan-δ seperti itu sentiasa dapat ditemukan. Contohnya, jika kita mengecilkan ϵ kepada $ϵ=\frac{1}{10}$, kita boleh mengecilkan δ kepada $\delta =\frac{2}{10}$, dan syarat itu tetap dipenuhi:

Walau sekecil mana pun ϵ yang kita ambil, kita mesti sentiasa dapat mencari δ yang membawa nilai-nilai fungsi masuk ke dalam kejiranan-ϵ bagi had fungsi L.

Bukti had terhingga pada titik terhingga

Mari kita buktikan had tadi dengan betul. Daripada rajah, kita sudah tahu bahawa kemungkinan besar

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1,$$

dan sekarang kita cuba membuktikannya secara matematik. Daripada rajah, kita boleh menyimpulkan bahawa jika kita sentiasa mengambil nilai δ yang sama dengan nilai ϵ, cara itu mungkin berjaya. Jadi, katakan δ = ϵ. Kini kita perlu membuktikan

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{bagi semua}x\in (x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta )$$

Oleh sebab δ = ϵ, kita tukar semua δ kepada ϵ:

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{bagi semua}x\in (x_0-ϵ,x_0)\cup (x_0,x_0+ϵ)$$

Gantikan L dengan 1 dan x₀ dengan 3:

$$1-ϵ<f(x)<1+ϵ,\text{bagi semua}x\in (3-ϵ,3)\cup (3,3+ϵ)$$

Sekarang kita perlu membuktikan semua ketaksamaan ini. Oleh sebab fungsi $\frac{x}{3}$ menokok, kita hanya perlu menyemak titik hujung 3 − ϵ dan 3 + ϵ. Kita mulakan dengan 3 − ϵ. Kita gantikan nilai 3 − ϵ ke dalam fungsi $\frac{x}{3}$ dan menunjukkan bahawa nilai ini sentiasa memenuhi ketaksamaan 1 − ϵ < f(x) < 1 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3-ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& -\frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Lakukan perkara yang sama dengan 3 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3+ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& \frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Had yang salah ditentukan

Sekarang mari kita lakarkan apa yang akan berlaku jika kita menyangka bahawa had fungsi apabila x menghampiri tiga ialah satu perdua. Kita pilih suatu kejiranan epsilon yang kecil:

Kini kita tidak dapat mencari kejiranan delta bagi titik x₀ yang semua nilai fungsinya muat di antara garis-garis hijau ini. Kita lihat bahawa bagi kejiranan-δ yang dipilih, semua titik biru berada di luar garis-garis hijau. Jika kita membesarkan kejiranan-δ, kita hanya menambah bilangan titik biru yang tidak dapat dimasukkan di antara garis-garis hijau.

Had fungsi signum

Signum ialah fungsi yang menarik, tetapi mungkin akan membingungkan anda. Berikut grafnya:

Graf ini tidak begitu jelas, jadi berikut penerangannya dalam perkataan: jika x negatif, signum bernilai negatif satu; jika positif, signum bernilai positif satu; dan jika x sifar, signum juga sifar. Kita ubah graf ini dengan nilai mutlak f(x) = |sgn(x)|. Kita peroleh |sgn(0)| = 0, dan bagi kes-kes lain |sgn(x)| = 1. Grafnya:

Soalannya, berapakah nilai had berikut?

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=?$$

Fungsi ini tertakrif pada titik sifar, dan nilai fungsinya juga sifar. Namun, hal ini tidak bermakna hadnya juga sifar. Had boleh berbeza daripada nilai fungsi pada titik itu.

Satu-satunya pilihan had yang memenuhi takrif ialah satu. Kita juga boleh menggunakan intuisi: apakah nilai yang dihampiri oleh nilai fungsi jika x menghampiri sifar dari kiri? Nilai fungsi sentiasa dekat dengan satu. Hakikat bahawa nilai itu akhirnya melompat ke sifar tidak menjadi masalah. Begitu juga apabila x menghampiri sifar dari kanan.

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=1$$

Jika kita mengekalkan fungsi dalam bentuk asalnya, iaitu f(x) = sgn(x), fungsi itu tidak mempunyai had pada titik sifar, tetapi mempunyai dua had sebelah yang berbeza. Dari kiri, fungsi menghampiri negatif satu, dan dari kanan, positif satu. Anda boleh cuba membuktikannya menggunakan takrif.

Had yang tidak wujud

Mari kita lihat beberapa contoh lagi apabila had tidak wujud.

Contoh paling mudah ialah had pada titik yang bukan titik had bagi D_f. Contohnya, had berikut tidak wujud:

$$\underset{x\to -1}{lim}\ln x$$

Grafnya:

Fungsi berkala sering tidak mempunyai had di infiniti (tetapi tidak semuanya!). Contoh biasa ialah fungsi trigonometri seperti sinus. Berikut grafnya:

Had di infiniti tidak wujud kerana nilai sinus sentiasa berayun antara satu dengan negatif satu. Oleh itu, had tidak dapat dihitung.