Contoh terbitan lanjutan

Beberapa contoh terbitan yang lebih rumit daripada penggunaan asas rumus. Jika anda memerlukan penerangan tentang takrif terbitan, lihat rencana terbitan fungsi.

Contoh pertama

Kita mulakan dengan contoh yang belum terlalu sukar.

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

Daripada rumus terbitan fungsi, kita tahu bahawa terbitan fungsi e^x ialah e^x sekali lagi. Malangnya, kita tidak boleh menggunakan cara mudah ini secara langsung dalam contoh ini, kerana indeksnya bukan x tetapi −x. Oleh itu, kita perlu menganggap fungsi ini sebagai fungsi gubahan. Namun, pada langkah pertama, kita tetap perlu memecahkannya menggunakan rumus hasil darab.

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Kita bezakan polinomial di sebelah kiri dengan rumus biasa dan biarkan bahagian lain tidak berubah:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Sekarang kita perlu membezakan fungsi yang terakhir. Seperti yang telah disebut, fungsi ini ialah fungsi gubahan, jadi kita perlu membezakannya mengikut petua bagi fungsi gubahan:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Jadi, terbitan fungsi kita ialah:

$$(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-x{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$$

Ungkapan e^−x kekal sama kerana terbitan e^x ialah e^x juga. Pada langkah pertama rumus, kita membezakan fungsi luar dan membiarkan fungsi dalam tanpa dibezakan. Pada langkah kedua, kita darabkan hasil sementara dengan terbitan objek fungsi, iaitu fungsi −x. Terbitan fungsi −x ialah −1. Sekarang kita hanya perlu menggantikan hasil ini ke dalam ungkapan sebelumnya:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

Contoh kedua

Soalan contoh kedua:

$$f(x)=\frac{\ln (\mathrm{kos}x)}{\tan x}$$

Di sini kita mempunyai pecahan dengan satu fungsi pada pengangka dan fungsi lain pada penyebut. Oleh itu, pada langkah pertama kita membezakan mengikut rumus hasil bahagi. Selepas menggunakan rumus itu, kita peroleh:

$$\frac{(\ln (\mathrm{kos}x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\mathrm{kos}x)\cdot (\tan x{)}^{\prime }}{{\tan }^{2}x}$$

Kita mulakan dari belakang. Mula-mula, kita bezakan tangen kerana tangen boleh dibezakan dengan mudah menggunakan rumus asas:

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\mathrm{kos}}^{2}x}.$$

Selepas menggunakan rumus ini pada pengangka pecahan, kita peroleh

$$\frac{(\ln (\mathrm{kos}x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\mathrm{kos}x)\cdot \frac{1}{{\mathrm{kos}}^{2}x}}{{\tan }^{2}x}$$

Sekarang kita perlu membezakan logaritma. Malangnya, di dalam logaritma terdapat satu lagi fungsi dalam, jadi kita mempunyai fungsi gubahan dan perlu membezakan logaritma itu sebagai fungsi gubahan. Terbitan logaritma sahaja ialah 1/x, tetapi x digantikan dengan objek logaritma, iaitu kosinus. Kemudian kita masih perlu mendarab dengan terbitan objek, iaitu terbitan kosinus. Jadi, terbitan logaritma ialah:

$$(\ln (\mathrm{kos}x){)}^{\prime }=\frac{1}{\mathrm{kos}x}\cdot (\mathrm{kos}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\mathrm{kos}x}\cdot \sin x=-\frac{\sin x}{\mathrm{kos}x}$$

Kita memperoleh pecahan yang agak kemas. Jika anda masih ingat trigonometri, anda tahu bahawa pecahan ini sama dengan tangen. Jadi, kita boleh menulis bahawa keseluruhannya sama dengan negatif tangen:

$$(\ln (\mathrm{kos}x){)}^{\prime }=-\tan x$$

Kita gantikan hasil ini ke dalam hasil sebelumnya:

$$=\frac{(\ln (\mathrm{kos}x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\mathrm{kos}x)\cdot \frac{1}{{\mathrm{kos}}^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=\frac{-\tan x\cdot \tan x-\ln (\mathrm{kos}x)\cdot \frac{1}{{\mathrm{kos}}^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Pada pengangka terdapat dua tangen yang didarab, jadi kita boleh menulisnya sebagai kuasa dua. Logaritma boleh dipindahkan ke pengangka pecahan yang berikutnya.

$$=\frac{-{\tan }^{2}x-\frac{\ln (\mathrm{kos}x)}{{\mathrm{kos}}^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Sekarang kita boleh memecahkan pengangka dan memperoleh dua pecahan

$$=-\frac{{\tan }^{2}x}{{\tan }^{2}x}-\frac{\frac{\ln (\mathrm{kos}x)}{{\mathrm{kos}}^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Dalam pecahan pertama, pengangka sama dengan penyebut, jadi kita memperoleh satu. Dalam pecahan kedua, kita boleh menghapuskan pecahan pada pengangka dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan kos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\mathrm{kos}x)}{{\mathrm{kos}}^{2}x\cdot {\tan }^{2}x}=$$

Tangen kini boleh ditulis sebagai hasil bahagi sin(x)/kos(x). Oleh sebab tangen itu dikuasaduakan, pengangka dan penyebut pecahan itu juga dikuasaduakan. Kemudian kita boleh terus membatalkan kos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\mathrm{kos}x)}{{\mathrm{kos}}^{2}x\frac{{\sin }^{2}x}{{\mathrm{kos}}^{2}x}}=-\frac{\ln (\mathrm{kos}x)}{{\sin }^{2}x}-1.$$

Inilah jawapan akhir terbitan itu.

Contoh ketiga

Cari terbitan fungsi

$$f(x)=x^{(x^{\frac{1}{2}})}.$$

Sekiranya kurang jelas: semuanya ialah indeks, iaitu “x kuasa x kuasa satu perdua”. Pada langkah pertama, kita ubah ungkapan ini menggunakan rumus:

$$x=e^{\ln x}$$

Dengan rumus ini, kita tulis semula x yang pertama dalam contoh kita:

$$f(x)=(e^{\ln x}{)}^{x^{\frac{1}{2}}}$$

Sekarang kita gunakan rumus bagi kuasa:

$$(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$$

Kita buang kurungan dan darabkan indeks teratas dengan logaritma:

$$f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}$$

Kini fungsi itu berada dalam bentuk yang lebih mudah dibezakan. Fungsi ini ialah fungsi gubahan, dan kita bezakan sebagai fungsi gubahan. Fungsi pertama ialah e^x, dengan x digantikan dengan seluruh indeks, dan fungsi kedua ialah indeks itu. Jadi, kita peroleh:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot (\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }$$

Kita bezakan kurungan itu sebagai hasil darab, jadi kita gunakan rumus hasil darab.

$$(\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=(\ln x{)}^{\prime }\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Terbitan logaritma ialah 1/x:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Sekarang kita bezakan ungkapan kedua menggunakan rumus biasa bagi terbitan fungsi kuasa:

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Kita gantikan hasil ini ke dalam pengiraan kita:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Kita masih boleh mempermudahkan hasil darab yang pertama, sekali lagi menggunakan hukum indeks:

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1+\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Kita tulis semula ungkapan sebelumnya menggunakan pengiraan yang baru dibuat:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Akhir sekali, kita pindahkan logaritma ke pengangka pecahan:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=$$

Pecahan pertama boleh didarab dengan dua pada pengangka dan penyebut, kemudian kedua-dua pecahan boleh ditambah:

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}$$

Sekarang kita boleh kembali kepada keseluruhan terbitan:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

Kita gantikan semula e^{ln x} dengan x:

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).$$

Dengan ini, kita memperoleh jawapan akhir.