Persamaan tangen

Tangen ialah garis lurus yang menyentuh graf fungsi pada satu titik dan mempunyai kecerunan yang sama dengan graf di titik itu. Berhampiran titik tersebut, tangen begitu rapat dengan graf sehingga hampir tidak dapat dibezakan daripadanya. Mari kita lihat contoh pada parabola, iaitu graf fungsi f(x) = x²:

Garis merah t ialah tangen pada titik T(1, 1). Garis putus-putus kelabu melalui titik yang sama, tetapi kecerunannya berbeza. Oleh itu, garis ini menyilang graf dan bertemu dengannya sekali lagi tidak jauh dari situ. Jadi, garis ini bukan tangen.

Soalan biasanya berbentuk begini: diberi suatu fungsi dan suatu titik pada grafnya, kita mahu menulis persamaan tangen pada titik ini, iaitu persamaan garis lurus dalam bentuk y = kx + q. Untuk persamaan garis lurus, kita memerlukan dua perkara:

• titik yang dilalui oleh garis itu,
• kecerunan k, iaitu nombor yang menunjukkan kecondongan garis itu.

Titik itu sudah diberi. Titik itu terletak pada graf, jadi jika koordinat-x titik itu ialah x₀, koordinat-y titik itu ialah f(x₀). Untuk kecerunan, kita menggunakan terbitan: terbitan fungsi pada suatu titik ialah kecerunan tangen pada titik itu. Kita hanya perlu menggabungkan titik dan kecerunan menjadi persamaan garis lurus.

Garis lurus melalui suatu titik dengan kecerunan tertentu

Garis lurus yang berkecerunan k dan melalui titik (x₀, y₀) mempunyai persamaan

$$y-y_0=k\cdot (x-x_0).$$

Hal ini boleh disemak dengan segera: jika anda menggantikan x dengan x₀, sebelah kanan menjadi sifar, jadi y = y₀ dan titik itu terletak pada garis tersebut. Nombor di hadapan kurungan pula ialah kecerunan, kerana selepas kurungan dikembangkan, kita memperoleh persamaan garis lurus dalam bentuk kecerunan y = kx + q dengan k di tempat yang betul.

Bagi tangen, titik sentuhan memberikan y₀ = f(x₀), dan kecerunan digantikan dengan terbitan, k = f'(x₀).

Rumus

Jika anda hanya mencari rumus, tangen kepada graf fungsi f pada titik (x₀, f(x₀)) ditulis sebagai

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0),$$

dengan x₀ ialah koordinat-x titik sentuhan dan f'(x₀) ialah terbitan fungsi f pada titik ini. Rumus ini mengandaikan bahawa terbitan pada titik x₀ wujud. Jika tidak, tangen tidak dapat ditulis dengan cara ini.

Jadi, keseluruhan kaedah ini terdiri daripada tiga langkah:

1. hitung f(x₀),
2. bezakan fungsi itu dan hitung f'(x₀),
3. gantikan kedua-dua nombor ke dalam rumus dan permudahkan.

Contoh

Kita tulis persamaan tangen kepada graf fungsi f(x) = x² pada titik x₀ = 1, iaitu tangen merah dalam rajah pada awal rencana ini.

Kita mulakan dengan nilai fungsi pada titik x₀:

$$f(1)=1^2=1$$

Jadi, titik sentuhan ialah (1, 1). Seterusnya, kita cari terbitan. Mengikut rumus terbitan, (x²)' = 2x:

$$f^{\prime }(x)=2x$$

Kita gantikan x₀ = 1 ke dalam terbitan:

$$f^{\prime }(1)=2\cdot 1=2$$

Kecerunan tangen ialah dua. Kita gantikan kedua-dua nombor ke dalam rumus:

$$y-1=2\cdot (x-1)$$

Kembangkan kurungan:

$$y-1=2x-2$$

Kita hanya perlu menjadikan y sebagai perkara rumus, jadi kita pindahkan satu ke sebelah kanan:

$$y=2x-1$$

Tangen kepada graf fungsi x² pada titik (1, 1) mempunyai persamaan y = 2x − 1. Semakan bahawa tangen benar-benar melalui titik sentuhan: 2 · 1 − 1 = 1. Betul.

Kesilapan yang biasa berlaku ialah menggantikan x₀ ke dalam fungsi asal di tempat yang sepatutnya diisi oleh terbitan, lalu menulis y − 1 = 1 · (x − 1). Hasilnya memang garis lurus yang melalui titik itu, tetapi kecerunannya salah, dan oleh itu garis itu menyilang graf. Garis inilah garis putus-putus kelabu y = x dalam rajah pada permulaan rencana.

Tangen yang selari dengan garis lurus

Kadangkala titik sentuhan tidak diberi, dan kita perlu mencarinya sendiri. Soalan biasa berbunyi begini: cari tangen kepada graf fungsi

$$f(x)=x^2-4x+5,$$

yang selari dengan garis lurus y = 2x − 7.

Garis lurus y = 2x − 7 itu sendiri bukan tangen; malah garis ini tidak mempunyai sebarang titik sepunya dengan parabola. Jika kita menyamakan kedua-dua persamaan, kita memperoleh x² − 6x + 12 = 0, dan persamaan kuadratik ini tiada penyelesaian kerana pembeza layannya ialah 36 − 48 = −12. Oleh itu, kita perlu menganjakkan garis itu sehingga garis itu hanya menyentuh parabola.

Garis-garis selari mempunyai kecerunan yang sama. Jadi, tangen yang dicari mesti mempunyai kecerunan dua, sama seperti garis lurus y = 2x − 7. Oleh itu, kita mencari titik yang terbitannya sama dengan dua. Kita bezakan:

$$f^{\prime }(x)=2x-4$$

Kita samakan terbitan dengan dua dan selesaikan persamaan linear yang terhasil:

$$\begin{array}{rcl}2x-4& =& 2\text{(tambah 4)}\\ 2x& =& 6\text{(bahagi dengan 2)}\\ x& =& 3\end{array}$$

Koordinat-x titik sentuhan ialah x₀ = 3. Koordinat-y diperoleh daripada fungsi:

$$f(3)=3^2-4\cdot 3+5=9-12+5=2$$

Kita mempunyai titik sentuhan T(3, 2) dan kecerunan dua, jadi kita boleh menulis:

$$y-2=2\cdot (x-3)$$

Selepas mengembangkan kurungan dan memindahkan dua ke sebelah kanan, kita peroleh:

$$y=2x-4$$

Tangen yang dicari mempunyai persamaan y = 2x − 4. Dalam rajah, parabola ditunjukkan dengan warna hitam, garis lurus p yang diberi dengan warna biru, tangen t dengan warna merah dan titik sentuhan T dengan warna jingga.

Jika garis lurus yang diberi mempunyai kecerunan lain, langkahnya tetap sama; kita hanya menyamakan terbitan dengan nombor yang lain. Bagi parabola, kita sentiasa memperoleh satu titik sentuhan sahaja. Bagi fungsi yang lebih rumit, mungkin terdapat lebih daripada satu titik sentuhan, atau tiada langsung.

Normal

Normal ialah garis lurus yang melalui titik sentuhan dan serenjang dengan tangen. Jika tangen mempunyai kecerunan k, garis yang serenjang dengannya mempunyai kecerunan $-\frac{1}{k}$. Jadi, persamaan normal ialah

$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\cdot (x-x_0).$$

Rumus ini hanya digunakan apabila f'(x₀) ≠ 0. Jika terbitan sama dengan sifar, tangen itu mengufuk dan normal ialah garis mencancang x = x₀.

Mari kita kembali kepada contoh pertama dan mencari normalnya, iaitu bagi fungsi x² pada titik (1, 1). Kecerunan tangen ialah dua, jadi kecerunan normal ialah $-\frac{1}{2}$. Kita gantikan:

$$y-1=-\frac{1}{2}\cdot (x-1)$$

Kembangkan kurungan:

$$y-1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$

Pindahkan satu ke sebelah kanan dan tambahkan pecahan-pecahan itu:

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$

Jadi, normal kepada graf fungsi x² pada titik (1, 1) diberi oleh persamaan $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.