Contoh asas terbitan

Dalam rencana ini, kita mula-mula melihat beberapa rumus yang berguna untuk menghitung terbitan, kemudian kita cuba mencari terbitan beberapa fungsi, sama ada yang mudah atau yang rumit. Jika anda tidak mencari contoh penyelesaian tetapi memerlukan penerangan tentang takrif terbitan, lihat rencana terbitan fungsi.

Terbitan polinomial

Mula-mula, kita sebutkan beberapa rumus yang kita perlukan untuk mencari terbitan fungsi dalam bentuk polinomial. Di sebelah kiri ialah fungsi asas yang ingin kita bezakan, dan di sebelah kanan ialah fungsi yang diperoleh selepas pembezaan. Sebagai makluman: c ialah pemalar (jadi baris pertama ialah fungsi pemalar), dan kita membezakan terhadap x.

$$\begin{array}{rcl}{c}^{\prime }& =& 0\\ x^{\prime }& =& 1\\ (x^c{)}^{\prime }& =& c\cdot x^{c-1}\end{array}$$

Beberapa contoh khusus:

$$f(x)=5$$

Ini ialah fungsi pemalar, jadi kita gunakan rumus pertama dan memperoleh:

$$f^{\prime }(x)=0.$$

Mengikut rumus kedua, fungsi linear f(x) = x mempunyai terbitan

$$f^{\prime }(x)=1,$$

dan tiada apa-apa lagi yang perlu dikaji. Oleh itu, mari kita cuba membezakan fungsi

$$f(x)=x^5.$$

Kita gunakan rumus terakhir dengan menggantikan c dengan indeks, iaitu c = 5.

$$f^{\prime }(x)=c\cdot x^{c-1}=5x^{5-1}=5x^4$$

Rumus ini juga berlaku bagi indeks negatif. Jadi, jika kita mahu membezakan fungsi

$$f(x)=x^{-7},$$

kita peroleh:

$$f^{\prime }(x)=c\cdot x^{c-1}=-7x^{-7-1}=-7x^{-8}.$$

Untuk langkah seterusnya, kita memerlukan rumus bagi hasil tambah dan hasil darab fungsi. Jika kita mahu memperoleh semula fungsi asal daripada fungsi terbitan, kita menggunakan kamiran.

Terbitan hasil tambah

Jika kita mahu menghitung terbitan fungsi yang mengandungi beberapa ungkapan yang ditambah, kita hanya perlu menghitung terbitan setiap sebutan dan menambahkan hasilnya. Kita tulis:

$$(f_1(x)+f_2(x){)}^{\prime }=f_1^{\prime }(x)+f_2^{\prime }(x)$$

Contoh mudah: katakan kita mempunyai fungsi f(x) = x + 5. Terbitan fungsi ini ialah:

$$f^{\prime }(x)=x^{\prime }+5^{\prime }=1+0=1.$$

Kita telah memecahkan fungsi itu kepada dua fungsi seperti berikut:

$$\begin{array}{rcl}{f}_1(x)& =& x\\ f_2(x)& =& 5\end{array}$$

dan hanya menggantikannya ke dalam rumus. Maksudnya, kita menghitung terbitan fungsi f₁ dan f₂, kemudian menambahkan hasilnya. Penolakan dilakukan dengan cara yang sama. Contoh yang lebih rumit:

$$f(x)=x^3+x-8$$

Sekali lagi, kita hanya membezakan setiap satu daripada tiga sebutan itu dan mengekalkan tanda tambah dan tolak:

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }+x^{\prime }-8^{\prime }=3x^2+1+0$$

Terbitan hasil darab

Malangnya, hasil darab tidak semudah penambahan biasa. Bagi hasil darab dua fungsi, kita perlu menggunakan rumus yang sedikit lebih rumit:

$$(f(x)\cdot g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$$

Contoh fungsi mudah yang mengandungi pendaraban ialah

$$s(x)=5\cdot x^2$$

Rumus pendaraban mengandungi dua fungsi. Kita peroleh kedua-duanya daripada fungsi s(x) seperti berikut: f(x) = 5 dan g(x) = x². Kemudian kita hanya perlu menggantikannya:

$$s^{\prime }(x)=5^{\prime }\cdot x^2+5\cdot (x^2{)}^{\prime }=0\cdot x^2+5\cdot 2x=10x$$

Kita lihat bahawa jika kita mempunyai fungsi dalam bentuk

$$f(x)=a\cdot x^c,$$

maka selepas pembezaan kita peroleh

$$(a\cdot x^c{)}^{\prime }=a\cdot (x^c{)}^{\prime }=a\cdot c\cdot x^{c-1}.$$

Petua ini boleh diitlakkan lagi: sebagai ganti polinomial, kita boleh mengambil sebarang fungsi. Jadi, bagi sebarang fungsi f(x),

$$(a\cdot f(x){)}^{\prime }=a\cdot f^{\prime }(x).$$

Sebagai contoh, mari kita bezakan fungsi berikut:

$$f(x)=5x^3-7x^2+10$$

Pada permulaan, kita gunakan dahulu petua hasil tambah:

$$f^{\prime }(x)=(5x^3{)}^{\prime }-(7x^2{)}^{\prime }+{10}^{\prime }=$$

Kita tulis semula ungkapan hasil darab mengikut rumus yang terakhir disebut:

$$=5(x^3{)}^{\prime }-7(x^2{)}^{\prime }+{10}^{\prime }=$$

Kita bezakan ungkapan dalam kurungan mengikut petua terbitan x^c.

$$=5\cdot 3x^2-7\cdot 2x+0=$$

Akhir sekali, kita darabkan pekali-pekalinya:

$$=15x^2-14x.$$

Terbitan hasil bahagi

Terbitan hasil bahagi pula sedikit lebih rumit daripada terbitan hasil darab. Rumusnya:

$${\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$$

Selain itu, langkah-langkahnya sama seperti bagi hasil darab. Jadi, terus kepada contoh:

$${\left(\frac{x^2+3x+1}{2x-1}\right)}^{\prime }=$$

Pengangka pecahan ialah fungsi f(x), dan penyebutnya ialah fungsi g(x). Sekarang kita hanya perlu menggantikannya ke dalam rumus:

$$=\frac{(x^2+3x+1{)}^{\prime }(2x-1)-(x^2+3x+1)(2x-1{)}^{\prime }}{(2x-1{)}^2}=$$

Pada penyebut terdapat kuasa dua penyebut asal, dan pada pengangka terdapat pecahan yang ditulis semula mengikut rumus. Sekarang kita bezakan kurungan pertama dan kurungan terakhir. Di situ terdapat petua hasil tambah lagi; saya langkau langkah itu dan terus menulis hasilnya:

$$=\frac{(2x+3)(2x-1)-2(x^2+3x+1)}{(2x-1{)}^2}=\dots$$

Ungkapan ini masih boleh dipermudahkan, tetapi hal itu tidak penting dalam bahagian ini.

Terbitan fungsi asas

Sekarang kita senaraikan, tanpa pembuktian, beberapa rumus untuk menghitung terbitan fungsi yang biasa.

Fungsi eksponen dan logaritma:

$$\begin{array}{rcl}(c^x{)}^{\prime }& =& c^x\ln c;c>0\\ (e^x{)}^{\prime }& =& e^x\\ ({\log }_{a}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x\cdot \ln a};a>0\wedge a\ne 1\\ (\ln x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x}\end{array}$$

Perhatikan bahawa terbitan fungsi e^x ialah e^x sekali lagi. Ini bukan salah cetak, tetapi sifat yang menarik, dan sifat ini menjadi asas banyak jenaka matematik.

Fungsi trigonometri:

$$\begin{array}{rcl}(\sin x{)}^{\prime }& =& \mathrm{kos}x\\ (\mathrm{kos}x{)}^{\prime }& =& -\sin x\\ (\tan x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{{\mathrm{kos}}^{2}x}\\ (\mathrm{kot}x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{{\sin }^{2}x}\end{array}$$

Satu contoh mudah:

$$(3\sin x+2\ln x{)}^{\prime }=$$

Kedua-dua ungkapan ditambah, jadi kita hanya perlu menambahkan terbitan kedua-dua ungkapan itu. Setiap ungkapan bermula dengan pemalar yang mendarab fungsi di belakangnya. Kita tahu bahawa dalam kes ini kita hanya perlu membezakan fungsi itu dan membiarkan pemalar tidak berubah. Mari kita lakukannya:

$$=3(\sin x{)}^{\prime }+2(\ln x{)}^{\prime }=$$

Kini kita hanya perlu menggunakan jadual terbitan:

$$=3\mathrm{kos}x+2\frac{1}{x}=3\mathrm{kos}x+\frac{2}{x}.$$

Terbitan fungsi gubahan

Daripada sifat terbitan dan penggunaannya dalam melakar graf fungsi, kita tahu bahawa dalam keadaan tertentu kita boleh mempunyai dua fungsi yang boleh dibezakan, dan gubahannya juga merupakan fungsi yang boleh dibezakan. Kita akan menunjukkan cara menghitung terbitan fungsi gubahan seperti itu.

Terbitan fungsi gubahan mungkin konsep yang paling sukar dalam terbitan asas ini. Fungsi boleh digubah. Anda boleh membaca lebih lanjut tentang fungsi gubahan dalam rencana Apakah fungsi atau Domain fungsi. Secara kasar, maksudnya kita memberikan satu fungsi sebagai objek kepada fungsi yang lain. Tatatanda simboliknya ialah h(g(x)). Contoh fungsi yang khusus ialah

$$f(x)=\sin (2x).$$

Apakah dua fungsi di dalamnya? Sinus dan fungsi dalam 2x. Kita tidak boleh begitu sahaja menggunakan rumus am bagi sin(x) pada fungsi f ini, kerana rumus itu menganggap objeknya ialah x, bukan 2x. Oleh itu, terbitan fungsi gubahan dihitung seperti berikut:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Maksudnya, kita bezakan fungsi luar dengan objek yang sama, lalu kita darabkan hasilnya dengan terbitan fungsi dalam. Dalam contoh sinus tadi:

$$(\sin (2x){)}^{\prime }={\sin }^{\prime }(2x)\cdot (2x{)}^{\prime }=$$

Tanda prima pada sinus sahaja bermakna kita hanya membezakan sinus itu sendiri, bukan seluruh ungkapan seperti di sebelah kiri persamaan. Terbitan sinus ialah kosinus, jadi sebagai ganti sinus kita tulis kosinus. Terbitan 2x pula ialah 2:

$$=\mathrm{kos}(2x)\cdot 2=2\mathrm{kos}(2x).$$

Contoh lain yang sedikit lebih rumit:

$$(\mathrm{kos}(\ln x^2){)}^{\prime }=$$

Di sini terdapat satu lagi fungsi dalam. Fungsi luar ialah kosinus, fungsi tengah ialah logaritma, dan fungsi paling dalam ialah kuasa x². Namun, kita tetap mengikut rumus yang sama. Kita tulis:

$$={\mathrm{kos}}^{\prime }(\ln x^2)\cdot (\ln x^2{)}^{\prime }=$$

Kita hanya membezakan kosinus dan membiarkan objek kosinus seperti asal, iaitu seluruh logaritma itu. Kemudian kita darabkan seluruh ungkapan ini dengan terbitan objeknya, iaitu terbitan logaritma. Selepas membezakan kosinus, kita peroleh:

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot (\ln x^2{)}^{\prime }=$$

Ungkapan di sebelah kanan tidak berubah; kita hanya membezakan kosinus. Sekarang kita bezakan logaritma. Logaritma ini juga fungsi gubahan, jadi kita gunakan rumus fungsi gubahan sekali lagi. Ungkapan di sebelah kiri hanya kita salin:

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot {\ln }^{\prime }{x}^2\cdot (x^2{)}^{\prime }=$$

Kita bezakan logaritma dan membiarkan objeknya sama, iaitu x². Tetapi seluruh ungkapan itu mesti didarab dengan terbitan objek, iaitu terbitan x². Terbitan logaritma ialah pecahan 1/x, dengan x digantikan dengan objek kita x², dan terbitan x² ialah 2x.

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot \frac{1}{x^2}2x=-\sin (\ln x^2)\cdot \frac{2}{x}=-\frac{2\sin (\ln x^2)}{x}.$$