Terbitan fungsi

Terbitan ialah konsep asas dalam kalkulus pembezaan. Terbitan memainkan peranan penting, misalnya, apabila kita melakar graf fungsi. Di satu pihak, terbitan dibenci oleh pelajar, tetapi di pihak lain, menghitung terbitan cukup mudah dengan latihan yang mencukupi. Rencana ini hanya menerangkan takrif terbitan dan konsep-konsep yang berkaitan. Contoh penyelesaian terdapat dalam rencana berdekatan: contoh mudah terbitan dan contoh yang lebih sukar. Proses yang berlawanan dengan pembezaan ialah pengamiran.

Apakah terbitan

Sebelum kita sampai kepada takrif terbitan, mari kita lihat dahulu apa yang kita hitung dengan terbitan dan apa gunanya.

Terbitan fungsi memberikan kecerunan tangen. Itu banyak istilah sekali gus, jadi kita mulakan dari awal. Secara ringkas, tangen ialah garis lurus yang menyentuh graf pada satu titik sahaja. Ini bukan takrif yang tepat (takrif tepat boleh dibaca, misalnya, di Wikipedia), tetapi cukup sebagai gambaran kasar. Sekarang perhatikan rajah berikut:

Lengkung hitam ialah graf fungsi y = x². Garis biru ialah tangen kepada fungsi ini pada titik D(1, 1), yang ditandakan dengan warna merah. Sudut α yang dibentuk oleh tangen dengan paksi-x, lebih tepat lagi dengan separuh paksi-x yang positif, ditandakan dengan warna hijau. Sekarang kita takrifkan konsep kecerunan tangen. Dalam rajah ini, kecerunan tangen ialah nilai fungsi tangen bagi sudut alfa. Fungsi tangen ialah fungsi trigonometri yang biasa; dengan fungsi ini kita boleh, misalnya, menghitung sudut dan panjang sisi dalam segi tiga. Jadi, kecerunan tangen ialah nilai tangen bagi sudut yang dibentuk oleh garis tangen itu dengan separuh paksi-x yang positif. Kecerunan inilah yang kita peroleh menggunakan terbitan.

Seterusnya, kita membezakan konsep terbitan fungsi pada suatu titik dan fungsi terbitan. Terbitan fungsi pada suatu titik ialah kecerunan tangen pada titik itu. Fungsi terbitan pula ialah fungsi lain yang memberikan kecerunan bagi objek x yang am. Contohnya akan menyusul.

Motivasi

Jadi, dengan terbitan kita dapat menghitung kecerunan tangen. Apakah gunanya? Perhatikan rajah berikut:

Rajah ini menunjukkan sekali lagi fungsi y = x² dengan empat tangen, dua hijau dan dua biru. Perhatikan bahawa fungsi y = x² menyusut pada selang (−∞, 0) dan menokok pada selang (0, ∞). Apakah pula yang berlaku pada tangennya, atau lebih tepat lagi, pada sudut yang dibentuknya dengan separuh paksi yang positif? Tangen biru, iaitu tangen yang melalui titik-titik dalam selang fungsi menokok, membentuk sudut kurang daripada 90 darjah dengan paksi itu. Tangen hijau pula membentuk sudut yang lebih besar daripada 90 darjah. Bagaimanakah hal ini mempengaruhi kecerunan tangen?

Untuk itu, kita perlu mengetahui kelakuan fungsi tangen. Daripada graf berikut, kita dapati bahawa jika sudut kurang daripada 90 darjah, nilai tangen positif (bahagian yang diserlahkan dengan warna biru). Sebaliknya, jika sudut lebih besar daripada 90 darjah tetapi kurang daripada 180 darjah (iaitu kurang daripada pi radian), nilai tangen negatif. Apakah kesimpulan kita? Jika kecerunan tangen pada suatu titik positif (ingat bahawa kecerunan ialah nilai tangen bagi sudut itu), fungsi menokok pada titik itu. Jika kecerunan negatif, fungsi menyusut.

Takrif

Sebelum sampai kepada takrif terbitan itu sendiri, kita perlu menempuh perjalanan yang panjang, dan kita akan memerlukan had fungsi. Jika anda belum menguasai had, ulang kaji had dahulu atau terus melihat rumus. Penerangan seterusnya mungkin tidak sesuai untuk anda.

Sebelum membincangkan kecerunan tangen itu sendiri, kita lihat dahulu kecerunan garis sekan, kerana hal ini lebih mudah. Garis sekan ialah garis lurus yang menyilang graf pada dua titik. Sekarang mari kita cari cara menghitung kecerunannya. Perhatikan rajah:

Rajah ini menunjukkan graf fungsi x² + 1 dan garis sekan s yang menyilang graf pada dua titik, (0.5; 1.25) dan (2, 5). Titik-titik ini diserlahkan dengan warna biru. Oleh sebab nilai-nilai tertentu tidak begitu penting, nilai-nilai itu ditandakan secara am dalam graf sebagai a dan b serta f(a) dan f(b). Di sini, f(a) ialah nilai fungsi f pada titik x = a. Hal ini benar: nilai fungsi kita x² + 1 pada titik x = 2 ialah 2² + 1 = 5.

Sekarang kita perlu mencari cara menghitung sudut yang ditandakan sebagai alfa, iaitu sudut yang dibentuk oleh garis sekan dengan paksi-x. Mula-mula, kita ubah sedikit rajah itu supaya kita memperoleh segi tiga, kerana segi tiga lebih mudah dikendalikan.

Apakah yang telah kita lakukan? Kita sambungkan dengan tembereng garis titik-titik persilangan garis sekan dengan graf fungsi y = x² + 1, dan kita lengkapkan rajah itu menjadi segi tiga bersudut tegak ABC. Apakah faedahnya? Sudut β mempunyai saiz yang sama dengan sudut α (kedua-duanya sudut sepadan). Pada masa yang sama, kita mengetahui panjang sisi AB dan BC. Kita ada |AB| = b − a (iaitu jarak titik b dari a). Begitu juga, panjang |BC| = f(b) − f(a). Bagaimanakah kita menghitung saiz sudut β, atau sudut α?

Kita perlu tahu cara menghitung tangen sudut. Tangen sudut ialah nisbah sisi bertentangan kepada sisi bersebelahan. Jadi, tangen sudut alfa (beta) sama dengan nisbah panjang sisi BC kepada panjang sisi AB. Kita tulis:

$$\text{tan}(\beta )=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Oleh sebab kecerunan ialah tangen bagi sudut itu, rumus ini memberikan kecerunan garis sekan. Tetapi bagaimanakah hal ini membantu kita menghitung kecerunan tangen? Bayangkan kita mendekatkan titik A dan C sehingga kedua-duanya bercantum. Rajah berikut menunjukkan proses ini:

Semakin dekat titik persilangan atas kepada titik bawah, semakin hampir garis sekan itu menjadi tangen. Garis sekan asal CA masih jauh daripada tangen. Apabila kita mendekatkan titik C kepada titik A, kita memperoleh, misalnya, garis sekan C₁A, yang lebih menyerupai tangen. Garis sekan C₂A lebih menyerupai tangen lagi, dan seterusnya.

Bilakah garis sekan menjadi tangen? Apabila kedua-dua titik persilangan bercantum menjadi satu, iaitu apabila bagi suatu titik C_n berlaku C_n = A. Pada ketika itu, garis sekan telah menjadi tangen, seperti yang kita mahukan. Persoalannya ialah cara menghitung kecerunan, kerana kita tidak boleh sekadar menolak kedua-dua titik ini, sebab kedua-duanya sama:

$$\text{tan}(\beta )=\frac{f(a)-f(a)}{a-a}=\frac{0}{0}.$$

Cara ini tidak berjaya; kita tidak boleh menghitung seperti ini. Bukan tanpa sebab kita hanya mendekatkan titik-titik itu. Kita memerlukan had. Sekarang kita mahu menghitung kecerunan tangen pada titik (a, f(a)), dan kita mempunyai kecerunan semua garis sekan yang mungkin (kita sudah tahu cara menghitungnya). Jadi, kita akan menghitung kecerunan garis sekan satu demi satu sambil mendekatkannya supaya terbentuk tangen. Kita akan mendekatkan b kepada a. Kita tidak boleh mendekatkan titik-titik itu sehingga sama, tetapi kita boleh mendekatkannya supaya bezanya menghampiri sifar sebagai had. Nah, inilah had. Jadi, kita dekatkan b kepada a sehingga kedua-duanya sama dari segi had, iaitu kita hitung had apabila b menghampiri a. Itu sahaja. Rumusnya ialah:

$$\text{tan}(\alpha )=\underset{b\to a}{lim}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Had ini dipanggil terbitan fungsi f(x) pada titik x = a. Ingat bahawa sudut α sama dengan sudut β. Biasanya kita tidak menggunakan pemboleh ubah a dan b, tetapi kita mencari terbitan pada titik x₀ dan menghampirinya dengan titik x. Kita boleh menulis:

$$\text{tan}(\alpha )=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Setakat ini, seperti dalam keselanjaran fungsi, kita hanya mentakrifkan terbitan pada satu titik. Jika fungsi f(x) boleh dibezakan pada selang terbuka I, nilai-nilai terbitan ini mentakrifkan fungsi f′(x), yang dipanggil fungsi terbitan.

Terbitan ditulis dengan tanda prima sebagai superskrip, seperti berikut:

$$(x^2{)}^{\prime }=2x,f^{\prime }(x)=\dots f^{\prime }(x_0)=\dots$$

Anda juga mungkin bertemu dengan tatatanda lain menggunakan dx:

$$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)$$

Dalam rumus yang kita gunakan sebentar tadi, kita boleh menggantikan tangen sudut itu dengan tatatanda terbitan:

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Kita juga boleh mentakrifkan terbitan sebelah kanan atau kiri menggunakan had sebelah. Kita tidak akan membincangkannya sekarang kerana perkara itu tidak begitu penting.

Takrif yang sedikit berbeza

Satu lagi takrif terbitan fungsi pada suatu titik ialah:

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Bagaimanakah kita sampai kepada takrif ini? Kita hanya perlu mengubah sedikit rajah yang kita gunakan tadi. Jarak titik a dari titik b boleh diungkapkan sebagai h = b − a. Dengan itu, titik b boleh ditulis sebagai a + h, kerana h ialah jarak b dari a. Rajahnya kelihatan seperti berikut:

Di bawah terdapat titik a dan a + h, dan pada paksi-y terdapat f(a) dan f(a + h). Sekali lagi, kita bentukkan segi tiga dan menghitung tangen sudut beta. Bezanya hanyalah panjang sisi AB sudah diketahui, iaitu h.

Terbitan terhingga dan tak terhingga

Seperti had fungsi, terbitan juga boleh terhingga atau tak terhingga. Apakah maksudnya? Terbitan dikatakan terhingga jika nilai terbitan pada suatu titik sama dengan suatu nombor nyata. Terbitan dikatakan tak terhingga jika nilainya sama dengan positif atau negatif infiniti. Bagaimanakah kita membayangkannya secara geometri? Bilakah kecerunan menjadi “tak terhingga”? Kita mulakan dengan soalan yang lebih mudah: bagaimanakah rupa tangen yang kecerunannya sama dengan suatu nombor yang besar? Daripada graf fungsi tangen (lihat di atas), kita lihat bahawa jika nilai tangen besar, sudut menghampiri 90 darjah (jika kita berada dalam selang (0, 180)).

Daripada sini, kita boleh menyangka bahawa jika fungsi mempunyai terbitan tak terhingga pada suatu titik, tangennya membentuk sudut tegak dengan paksi-x, iaitu serenjang dengannya. Memang begitu. Bagaimanakah rupa graf fungsi seperti itu, dan pada titik manakah tangennya serenjang dengan paksi-x? Contohnya, fungsi $y=\sqrt[3]{x}$:

Sifat asas

• Supaya fungsi mempunyai terbitan pada suatu titik, fungsi itu mesti tertakrif dalam suatu kejiranan epsilon bagi titik ini. Jika kejiranan ini tidak wujud, kita tidak dapat menghitung had yang digunakan untuk mentakrifkan terbitan.

• Oleh sebab had (jika wujud) adalah unik, terbitan pada suatu titik juga unik jika terbitan itu wujud. Tiada fungsi yang mempunyai lebih daripada satu terbitan pada satu titik. Sama ada satu terbitan, atau tiada langsung.

• Seperti dalam had sebelah, jika fungsi mempunyai terbitan pada suatu titik, terbitan kiri dan terbitan kanan mesti sama.

• Kadangkala kita perlu mengetahui terbitan kedua. Hal ini tidak rumit: kita bezakan fungsi sekali, kemudian bezakan hasilnya sekali lagi. Terbitan kedua ditulis dengan dua tanda prima: f''(x) = (f'(x))'.

• Sifat penting: jika fungsi mempunyai terbitan pada suatu titik, fungsi itu selanjar pada titik tersebut. Sifat ini juga berpunca daripada sifat had. Berhati-hati, akasnya tidak benar. Jika fungsi selanjar pada suatu titik, tidak semestinya fungsi itu boleh dibezakan di situ. Contoh biasa ialah fungsi f(x) = |x|. Grafnya membentuk bucu tajam, dan kecerunan tangen pada bucu ini tidak dapat dihitung. Anda boleh cuba menghitung terbitan kiri dan terbitan kanan; kedua-duanya berbeza.

  

• Terbitan juga boleh digunakan untuk menghitung sesetengah had. Untuk tujuan ini, kita menggunakan petua L'Hôpital.

Pautan

Dalam rencana berdekatan, anda akan menemukan senarai rumus terbitan. Rumus-rumus lain terdapat di Wikipedia.

Anda juga boleh melihat contoh penyelesaian terbitan dan kemudian contoh terbitan yang lebih sukar.

Jika anda perlu menyemak pengiraan terbitan dengan cepat, anda boleh menggunakan alat matematik seperti Wolfram|Alpha. Taipkan, misalnya, “derive x^2+6x” dalam ruangan input di situ, dan Wolfram akan menghitung terbitan fungsi yang diberi.