Pembahagian polinomial dengan polinomial

Pembahagian polinomial ialah operasi yang tidak remeh. Operasi ini agak kerap digunakan semasa mengubah dan memudahkan polinomial.

Contoh pertama

Pembahagian polinomial agak rumit, sekurang-kurangnya jika dibandingkan dengan operasi sebelumnya. Walau bagaimanapun, langkah pembahagian polinomial hampir sama dengan langkah pembahagian panjang yang biasa. Kita akan melihat seluruh algoritma melalui contoh. Mari kita mulakan dengan contoh yang mudah, misalnya:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2})$

Kita andaikan kedua-dua polinomial telah disusun mengikut tertib menurun dan dipermudahkan dengan betul, iaitu semua sebutan yang boleh ditambah telah ditambah. Hal ini tidak penting bagi algoritma, tetapi memudahkan pengiraan. Dalam langkah pertama, kita bahagikan sebutan pertama polinomial pertama dengan sebutan pertama polinomial kedua. (Di sini polinomial kedua hanya mempunyai satu sebutan, jadi sebutan pertamanya juga merupakan keseluruhan polinomial kedua.) Jadi, kita lakukan operasi

$4 x^{3} / (2 x^{2}) = \frac{4}{2} x^{3 - 2} = 2 x$

Pembahagian sebutan-sebutan asas ini berlaku secara terbalik daripada pendaraban, jadi tiada apa-apa yang mengejutkan di sini. Oleh sebab ini langkah pertama, kita tulis hasil ini pada ungkapan asal yang hendak dikira

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x$

dan meneruskan langkah kedua. Darab hasil sementara kita dengan polinomial kedua, iaitu polinomial yang menjadi pembahagi.

$2 x \cdot (2 x^{2}) = 4 x^{3}$

Hasil ini ditolak daripada keseluruhan polinomial pertama. Tulis di bawah polinomial pertama, lebih kurang seperti ini:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \end{array}$

Kini di bawah garis tinggal satu hasil, dan kita gunakan langkah yang sama padanya seperti pada polinomial asal. Bahagikannya dengan sebutan pertama polinomial kedua.

$8 x^{2} / (2 x^{2}) = 4$

Tambahkan hasil ini kepada penyelesaian sementara sebelumnya:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x + 4$

Sekali lagi, darab keseluruhan polinomial kedua dengan empat

$(2 x^{2}) \cdot 4 = 8 x^{2}$

dan tolak hasilnya daripada ungkapan yang tinggal di bawah garis.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 0 \end{array}$

Selepas penolakan, yang tinggal ialah sifar, jadi algoritma tamat di sini. Di sebelah kanan terdapat hasil pembahagian. Untuk menyemak jawapan, darab polinomial yang diperoleh dengan polinomial kedua. Kita mesti mendapat semula polinomial pertama.

$(2 x^{2}) \cdot (2 x + 4) = 4 x^{3} + 8 x^{2}$

Contoh kedua

Kita ubah sedikit soalan tadi dan cuba mengira

$(4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) / (2 x^{2}) .$

Pengiraannya sama seperti contoh sebelumnya, cuma selepas setiap penolakan hasilnya lebih besar sebanyak tujuh. Secara ringkas, pengiraannya seperti berikut:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Langkah-langkahnya tidak berubah, cuma ada tambahan tujuh. Dalam langkah ini, kita tidak dapat membahagi beza yang baharu (nombor tujuh itu) dengan polinomial kedua secara kemas. Kita hanya menulis hasilnya sebagai tujuh per polinomial itu dan menambahnya kepada hasil perantaraan.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Apabila kita darab semula dengan polinomial kedua, kita peroleh tujuh

$(2 x^{2}) \cdot \frac{7}{2 x^{2}} = 7$

dan oleh itu bezanya ialah sifar.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \\ \underset{―}{- 7} \\ 0 \end{array}$

Algoritma tamat di sini kerana kita telah mendapat sifar.

Contoh ketiga

Kita tambahkan satu lagi sebutan kepada polinomial kedua.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5)$

Dalam langkah pertama, kita bahagikan sebutan pertama polinomial pertama dengan sebutan pertama polinomial kedua, sama seperti dalam contoh-contoh sebelumnya.

$6 x^{7} / 3 x^{3} = 2 x^{4}$

Dalam langkah seterusnya, darab hasil perantaraan ini dengan keseluruhan polinomial kedua dan tolak daripada polinomial pertama.

$(3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} = 6 x^{7} + 10 x^{4}$

Tulis langkah ini dengan kemas di bawah soalan.

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \end{array}$

Kita teruskan dengan membahagi sebutan pertama polinomial yang baharu dengan sebutan pertama polinomial kedua.

$9 x^{4} / 3 x^{3} = 3 x$

Darab dengan keseluruhan polinomial kedua:

$(3 x^{3} + 5) \cdot 3 x = 9 x^{4} + 15 x$

Tulis dan tolak:

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \\ \underset{―}{- (9 x^{4} + 15 x)} \\ - 15 x + 7 \end{array}$

Ungkapan ini tidak lagi dapat dibahagi dengan munasabah, jadi kita hanya menambah pecahan bagi kedua-dua polinomial itu.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}$

Jika kita membuat pendaraban dan penolakan semula, kita akan terus mendapat sifar seperti dalam contoh sebelumnya. Sekarang kita semak jawapan. Sebelum membuat semakan yang teliti, kita boleh mencuba ujian pantas. Gantikan suatu nilai yang mudah ke dalam ungkapan, misalnya sifar. Jika kita menggantikan sifar ke dalam hasil pembahagian, kita peroleh

$0 + 0 + \frac{0 + 7}{0 + 5} = \frac{7}{5} .$

Jika kita menggantikan sifar ke dalam ungkapan yang dibahagi, kita peroleh

$(0 + 0 + 7) / (0 + 5) = \frac{7}{5} .$

Jika langkah kita betul, kedua-dua nilai mesti sama. Seperti yang kita lihat, kedua-dua nilai memang sama. Cara ini tidak menjamin bahawa jawapan kita betul sepenuhnya, kerana kita perlu menguji semua nilai yang mungkin bagi x. Namun, cara ini dapat mengesan kesilapan dengan cepat. Mari kita cuba perkara yang sama dengan satu. Gantikan ke dalam hasil, dan kita peroleh:

$2 + 3 + \frac{- 15 + 7}{3 + 5} = 5 - \frac{8}{8} = 4.$

Gantikan ke dalam ungkapan asal, dan kita peroleh

$(6 + 19 + 7) / (3 + 5) = \frac{32}{8} = 4.$

Keputusannya memberangsangkan, tetapi untuk pengesahan akhir kita perlu membuat pendaraban sepenuhnya.

$\begin{array}{rcl} (3 x^{3} + 5) \cdot (2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}) & = & (3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} + (3 x^{3} + 5) \cdot 3 x + (- 15 x + 7) \\ = & 6 x^{7} + 10 x^{4} + 9 x^{4} + 15 x - 15 x + 7 \\ = & 6 x^{7} + 19 x^{4} + 7 \end{array}$

Kandungan: Polinomial, Pembahagian polinomial dengan polinomial, Punca polinomial, Pemfaktoran polinomial

« Artikel sebelumnya: Polinomial

Artikel seterusnya: Punca polinomial »