Chia đa thức cho đa thức

Phép chia đa thức là một phép toán không hề đơn giản, thường được dùng khi biến đổi và rút gọn đa thức.

Ví dụ thứ nhất

Phép chia đa thức khá phức tạp, ít nhất là so với các phép toán đã học trước. Tuy vậy, cách chia đa thức khá giống với phép chia thông thường trên giấy. Ta sẽ minh hoạ toàn bộ thuật toán qua các ví dụ. Bắt đầu với một ví dụ đơn giản:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2})$

Giả sử cả hai đa thức đều đã được sắp xếp theo luỹ thừa giảm dần và thu gọn, tức là những gì cộng được thì đã cộng. Điều này không quan trọng đối với thuật toán nhưng giúp việc tính toán đơn giản hơn. Bước đầu tiên, chia hạng tử đầu của đa thức thứ nhất cho hạng tử đầu của đa thức thứ hai (ở đây đa thức thứ hai chỉ có một hạng tử, nên hạng tử đầu của nó cũng chính là cả đa thức thứ hai). Tức là thực hiện phép tính

$4 x^{3} / (2 x^{2}) = \frac{4}{2} x^{3 - 2} = 2 x$

Phép chia các hạng tử như vậy làm ngược với phép nhân, không có gì bất ngờ. Vì đây là bước đầu tiên, ta ghi kết quả vào biểu thức cần tính

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x$

rồi chuyển sang bước thứ hai. Nhân kết quả tạm thời với đa thức thứ hai, tức là đa thức chia.

$2 x \cdot (2 x^{2}) = 4 x^{3}$

Lấy đa thức thứ nhất trừ đi kết quả này. Ta viết nó dưới đa thức thứ nhất, đại khái như sau:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \end{array}$

Lúc này dưới gạch còn lại một kết quả, và ta áp dụng cho nó đúng cách làm như với đa thức ban đầu: chia nó cho hạng tử đầu của đa thức thứ hai.

$8 x^{2} / (2 x^{2}) = 4$

Cộng kết quả này vào kết quả tạm thời trước đó:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x + 4$

Rồi lại nhân ngược số bốn với cả đa thức thứ hai

$(2 x^{2}) \cdot 4 = 8 x^{2}$

và trừ nó khỏi phần còn lại dưới gạch.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 0 \end{array}$

Sau khi trừ còn lại không, thuật toán kết thúc. Ở vế phải là kết quả của phép chia. Muốn thử lại, ta nhân đa thức thu được với đa thức thứ hai và phải được đa thức thứ nhất.

$(2 x^{2}) \cdot (2 x + 4) = 4 x^{3} + 8 x^{2}$

Ví dụ thứ hai

Chỉ sửa đề bài trước một chút, ta thử tính

$(4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) / (2 x^{2}) .$

Cách tính hoàn toàn giống ví dụ trước, chỉ có điều sau mỗi lần trừ, kết quả lớn hơn bảy đơn vị. Tóm tắt cách tính như sau:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Cách làm không đổi, chỉ thêm số bảy. Ở bước này ta không thể chia gọn hiệu mới (số bảy) cho đa thức thứ hai nữa. Ta đơn giản viết kết quả là bảy chia cho đa thức đó và cộng vào kết quả trung gian.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Khi nhân ngược với đa thức thứ hai, ta được số bảy

$(2 x^{2}) \cdot \frac{7}{2 x^{2}} = 7$

và do đó sau khi trừ ta được không.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \\ \underset{―}{- 7} \\ 0 \end{array}$

Thuật toán kết thúc ở đây, ta đã đi đến số không.

Ví dụ thứ ba

Thêm một hạng tử vào đa thức thứ hai.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5)$

Bước đầu tiên, chia hạng tử đầu của đa thức thứ nhất cho hạng tử đầu của đa thức thứ hai, giống như các ví dụ trước.

$6 x^{7} / 3 x^{3} = 2 x^{4}$

Bước tiếp theo, nhân kết quả trung gian này với cả đa thức thứ hai rồi lấy đa thức thứ nhất trừ đi.

$(3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} = 6 x^{7} + 10 x^{4}$

Viết gọn gàng dưới cả phép tính.

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \end{array}$

Tiếp tục: chia hạng tử đầu của đa thức mới thu được cho hạng tử đầu của đa thức thứ hai.

$9 x^{4} / 3 x^{3} = 3 x$

Nhân với cả đa thức thứ hai:

$(3 x^{3} + 5) \cdot 3 x = 9 x^{4} + 15 x$

Viết ra và trừ:

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \\ \underset{―}{- (9 x^{4} + 15 x)} \\ - 15 x + 7 \end{array}$

Phần này không thể chia tiếp được nữa, nên ta chỉ việc cộng thêm phân thức của hai đa thức.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}$

Nếu thực hiện tiếp phép nhân ngược và phép trừ, ta sẽ được ngay số không như ở ví dụ trước. Bây giờ ta thử lại. Trước khi thử lại kĩ, có thể kiểm tra nhanh: thay vào các biểu thức một giá trị đơn giản, chẳng hạn số không. Thay số không vào kết quả phép chia, ta được

$0 + 0 + \frac{0 + 7}{0 + 5} = \frac{7}{5} .$

Thay số không vào các biểu thức đem chia, ta được

$(0 + 0 + 7) / (0 + 5) = \frac{7}{5} .$

Nếu phép biến đổi đúng thì hai giá trị phải bằng nhau. Ta thấy chúng bằng nhau. Cách kiểm tra này không đảm bảo hoàn toàn đúng, vì muốn vậy phải thử mọi giá trị có thể thay cho x, nhưng nó có thể nhanh chóng phát hiện lỗi. Thử thêm với số một. Thay vào kết quả, ta được:

$2 + 3 + \frac{- 15 + 7}{3 + 5} = 5 - \frac{8}{8} = 4.$

Thay vào các biểu thức ban đầu, ta được

$(6 + 19 + 7) / (3 + 5) = \frac{32}{8} = 4.$

Có vẻ đúng hướng, nhưng để khẳng định chắc chắn, ta phải thực hiện toàn bộ phép nhân.

$\begin{array}{rcl} (3 x^{3} + 5) \cdot (2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}) & = & (3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} + (3 x^{3} + 5) \cdot 3 x + (- 15 x + 7) \\ = & 6 x^{7} + 10 x^{4} + 9 x^{4} + 15 x - 15 x + 7 \\ = & 6 x^{7} + 19 x^{4} + 7 \end{array}$

Mục lục: Đa thức, Chia đa thức cho đa thức, Nghiệm của đa thức, Phân tích đa thức thành nhân tử

« Bài trước: Đa thức

Bài tiếp: Nghiệm của đa thức »