Pemfaktoran polinomial

Polinomial boleh difaktorkan kepada hasil darab beberapa polinomial. Katakan kita mempunyai polinomial

$$P_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_1{x}^1+a_0{x}^0,$$

Pemalar n ialah darjah polinomial, iaitu indeks tertinggi dalam polinomial yang pekalinya bukan sifar. Sebagai contoh, polinomial x³ − 4x² − 5x mempunyai darjah 3. Semua indeks lain sama ada lebih rendah (indeks 2 dan 1) atau mempunyai pekali sifar. Sekarang kita boleh menyatakan bahawa jika kita menemui satu punca k bagi polinomial kita, maka wujud polinomial lain Q_{n − 1}(x) yang darjahnya kurang satu, dan

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

Kedengarannya rumit, tetapi maksudnya begini: jika kita tahu satu punca polinomial P_n(x), kita dapat mencari polinomial lain Q_{n − 1}(x) yang apabila didarab dengan ungkapan (x − k) memberikan polinomial asal P_n(x). Darjah polinomial Q_{n − 1}(x) pula kurang satu daripada darjah polinomial P_n(x). Bagi polinomial kita P₃(x) = x³ − 4x² − 5x, salah satu puncanya ialah k₁ = 0 (kerana jika kita menggantikan x dengan sifar, seluruh ungkapan menjadi sifar). Maka, mesti wujud polinomial Q₂(x) yang memenuhi

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

Kes ini mudah kerana x − 0 sudah tentu sama dengan x. Jadi, kita memperoleh persamaan:

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

Kita hanya perlu mengeluarkan faktor sepunya x daripada polinomial asal P₃(x), lalu kita memperoleh polinomial baharu Q₂(x):

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

Inilah pemfaktoran pertama polinomial itu. Kita telah memfaktorkan polinomial asal x³ − 4x² − 5x kepada hasil darab (x − 0) dengan x² − 4x − 5, iaitu polinomial yang darjahnya lebih rendah. Polinomial x² − 4x − 5 ini pula boleh difaktorkan lagi. Apabila kita menyelesaikan persamaan kuadratik

$$x^2-4x-5=0$$

kita dapati bahawa punca persamaan ini ialah k₂ = 5 dan k₃ = −1. Oleh itu, kita sepatutnya dapat mencari polinomial Q₁(x) yang memenuhi

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

Mencari polinomial Q₁(x) tidak semestinya mudah. Kita boleh menggunakan, misalnya, pembahagian polinomial. Dengan cara itu kita dapati bahawa polinomial yang terhasil ialah Q₁(x) = x + 1. Jadi, kita boleh menulis

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot (x+1)$$

Seluruh polinomial asal P₃(x) sama dengan:

$$P_3(x)=x\cdot (x-5)\cdot (x+1)$$

Jika kita memfaktorkan seluruh polinomial dengan cara ini, kita dapat membaca setiap punca dengan mudah. Jika mana-mana faktor dalam hasil darab itu bernilai sifar, seluruh ungkapan juga bernilai sifar. Oleh itu, daripada bentuk ini jelas bahawa punca polinomial itu ialah k₁ = 0, k₂ = 5 dan k₃ = −1.