다항식의 나눗셈

다항식의 나눗셈은 간단하지 않은 계산이지만, 다항식을 변형하고 간단히 할 때 꽤 자주 쓰인다.

첫 번째 예제

다항식의 나눗셈은 앞에서 다룬 계산들에 비하면 꽤 복잡하다. 그래도 그 과정은 보통의 나눗셈 세로셈과 아주 비슷하다. 알고리즘 전체를 예제로 살펴보자. 간단한 예부터 시작한다.

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2})$

두 다항식은 차수가 높은 항부터 차례로 정리되어 있고, 더할 수 있는 항은 모두 더해 두었다고 하자. 알고리즘에 꼭 필요한 것은 아니지만 계산이 쉬워진다. 첫 단계에서는 첫 번째 다항식의 첫째 항을 두 번째 다항식의 첫째 항으로 나눈다(여기서는 두 번째 다항식의 항이 하나뿐이므로 첫째 항이 곧 두 번째 다항식 전체이다). 즉 다음을 계산한다.

$4 x^{3} / (2 x^{2}) = \frac{4}{2} x^{3 - 2} = 2 x$

이런 항끼리의 나눗셈은 곱셈의 반대일 뿐이므로 놀랄 것은 없다. 첫 단계이므로 이것을 구하려는 식에 적는다.

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x$

이제 두 번째 단계로 넘어간다. 지금까지 얻은 몫에 두 번째 다항식, 즉 나누는 다항식을 곱한다.

$2 x \cdot (2 x^{2}) = 4 x^{3}$

이 결과를 첫 번째 다항식 전체에서 뺀다. 첫 번째 다항식 아래에 다음과 같이 쓴다.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \end{array}$

이제 선 아래에 남은 식에 처음 다항식과 같은 과정을 적용한다. 이 식을 두 번째 다항식의 첫째 항으로 나눈다.

$8 x^{2} / (2 x^{2}) = 4$

이 결과를 앞에서 구한 몫에 더한다.

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x + 4$

다시 4에 두 번째 다항식 전체를 곱하고

$(2 x^{2}) \cdot 4 = 8 x^{2}$

선 아래에 남은 식에서 뺀다.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 0 \end{array}$

빼고 나니 0이 남았으므로 알고리즘은 여기서 끝난다. 오른쪽에 있는 것이 나눗셈의 결과이다. 검산하려면 이렇게 얻은 다항식에 두 번째 다항식을 곱해서 첫 번째 다항식이 나오는지 확인하면 된다.

$(2 x^{2}) \cdot (2 x + 4) = 4 x^{3} + 8 x^{2}$

두 번째 예제

앞의 문제를 조금만 바꾸어 다음을 계산해 보자.

$(4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) / (2 x^{2}) .$

계산은 처음부터 끝까지 앞의 예제와 같고, 뺄셈을 할 때마다 결과가 7만큼 클 뿐이다. 간단히 쓰면 다음과 같다.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

과정은 그대로이고 7만 늘었다. 이 단계에서는 새로 생긴 차(7)를 두 번째 다항식으로 깔끔하게 나눌 수 없다. 그래서 7을 그 다항식으로 나눈 분수를 그대로 쓰고 몫에 더한다.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

이것에 다시 두 번째 다항식을 곱하면 7이 나오고

$(2 x^{2}) \cdot \frac{7}{2 x^{2}} = 7$

따라서 빼면 0이 된다.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \\ \underset{―}{- 7} \\ 0 \end{array}$

0이 되었으므로 알고리즘은 여기서 끝난다.

세 번째 예제

이번에는 두 번째 다항식에 항을 하나 더 붙인다.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5)$

첫 단계에서는 앞의 예제들처럼 첫 번째 다항식의 첫째 항을 두 번째 다항식의 첫째 항으로 나눈다.

$6 x^{7} / 3 x^{3} = 2 x^{4}$

다음 단계에서는 이 몫에 두 번째 다항식 전체를 곱하여 첫 번째 다항식에서 뺀다.

$(3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} = 6 x^{7} + 10 x^{4}$

문제 아래에 알아보기 쉽게 적는다.

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \end{array}$

계속해서 새로 생긴 다항식의 첫째 항을 두 번째 다항식의 첫째 항으로 나눈다.

$9 x^{4} / 3 x^{3} = 3 x$

두 번째 다항식 전체를 곱한다.

$(3 x^{3} + 5) \cdot 3 x = 9 x^{4} + 15 x$

적고 뺀다.

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \\ \underset{―}{- (9 x^{4} + 15 x)} \\ - 15 x + 7 \end{array}$

이것은 더 이상 깔끔하게 나눌 수 없으므로 남은 식을 두 번째 다항식으로 나눈 분수를 그대로 더한다.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}$

다시 곱하고 빼면 앞의 예제처럼 바로 0이 나온다. 이제 검산해 보자. 꼼꼼한 검산 전에 빠른 확인부터 해 볼 수 있다. 식에 간단한 값, 예를 들어 0을 대입한다. 나눗셈 결과에 0을 대입하면 다음을 얻는다.

$0 + 0 + \frac{0 + 7}{0 + 5} = \frac{7}{5} .$

나누기 전의 식에 0을 대입하면 다음을 얻는다.

$(0 + 0 + 7) / (0 + 5) = \frac{7}{5} .$

계산이 맞다면 두 값은 같아야 한다. 보다시피 두 값은 같다. 물론 이 방법으로 완전히 맞다고 보장할 수는 없다. 그러려면 x에 넣을 수 있는 모든 값을 확인해야 하기 때문이다. 하지만 틀린 곳을 빨리 찾는 데는 도움이 된다. 1로도 해 보자. 결과에 대입하면 다음을 얻는다.

$2 + 3 + \frac{- 15 + 7}{3 + 5} = 5 - \frac{8}{8} = 4.$

처음 식에 대입하면 다음을 얻는다.

$(6 + 19 + 7) / (3 + 5) = \frac{32}{8} = 4.$

좋은 신호이지만, 최종 확인을 하려면 곱셈을 끝까지 해야 한다.

$\begin{array}{rcl} (3 x^{3} + 5) \cdot (2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}) & = & (3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} + (3 x^{3} + 5) \cdot 3 x + (- 15 x + 7) \\ = & 6 x^{7} + 10 x^{4} + 9 x^{4} + 15 x - 15 x + 7 \\ = & 6 x^{7} + 19 x^{4} + 7 \end{array}$

목차: 다항식, 다항식의 나눗셈, 다항식의 근, 다항식의 인수분해

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