Pembagian polinomial oleh polinomial

Pembagian polinomial bukan operasi yang sepele, tetapi cukup sering dipakai saat mengubah dan menyederhanakan polinomial.

Contoh pertama

Pembagian polinomial cukup rumit, setidaknya dibandingkan dengan operasi-operasi sebelumnya. Namun, langkah-langkahnya mirip dengan pembagian bersusun bilangan biasa. Seluruh algoritmanya akan kita tunjukkan dengan contoh. Kita mulai dengan contoh sederhana, misalnya:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2})$

Kita anggap kedua polinomial sudah diurutkan dengan pangkat menurun dan sudah disederhanakan, artinya suku-suku yang bisa dijumlahkan sudah dijumlahkan. Hal ini tidak penting bagi algoritmanya, tetapi memudahkan perhitungan. Pada langkah pertama, suku pertama polinomial pertama dibagi dengan suku pertama polinomial kedua. (Di sini polinomial kedua hanya punya satu suku, jadi suku pertamanya sekaligus seluruh polinomial kedua.) Jadi, kita lakukan operasi

$4 x^{3} / (2 x^{2}) = \frac{4}{2} x^{3 - 2} = 2 x$

Pembagian suku-suku dasar seperti ini adalah kebalikan perkalian, jadi seharusnya tidak ada yang mengejutkan. Karena ini langkah pertama, hasilnya kita tulis di samping bentuk awal yang ingin kita hitung

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x$

lalu kita lanjutkan ke langkah kedua. Hasil sementara kita kalikan dengan polinomial kedua, yaitu polinomial pembagi.

$2 x \cdot (2 x^{2}) = 4 x^{3}$

Hasil ini dikurangkan dari seluruh polinomial pertama. Kita tulis di bawah polinomial pertama, kira-kira seperti ini:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \end{array}$

Sekarang di bawah garis tersisa suatu hasil, dan pada hasil ini kita terapkan langkah yang sama seperti pada polinomial awal. Hasil itu kita bagi dengan suku pertama polinomial kedua.

$8 x^{2} / (2 x^{2}) = 4$

Hasilnya kita tambahkan pada hasil sementara sebelumnya:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x + 4$

Lalu kita kalikan lagi seluruh polinomial kedua dengan 4

$(2 x^{2}) \cdot 4 = 8 x^{2}$

dan hasilnya kita kurangkan dari sisa di bawah garis.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 0 \end{array}$

Setelah pengurangan, sisanya nol, dan algoritmanya selesai. Di ruas kanan kita mendapatkan hasil pembagian. Jika ingin memeriksa, polinomial hasil ini kita kalikan dengan polinomial kedua, dan hasilnya harus sama dengan polinomial pertama.

$(2 x^{2}) \cdot (2 x + 4) = 4 x^{3} + 8 x^{2}$

Contoh kedua

Soal sebelumnya kita ubah sedikit, lalu kita coba hitung

$(4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) / (2 x^{2}) .$

Perhitungannya sama persis dengan contoh sebelumnya, hanya saja setiap hasil pengurangan selalu lebih besar 7. Singkatnya, perhitungannya seperti ini:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Langkahnya tidak berubah, hanya ada tambahan 7. Pada langkah ini, selisih yang baru (angka 7 itu) tidak bisa lagi dibagi dengan rapi oleh polinomial kedua. Hasilnya cukup kita tulis sebagai tujuh per polinomial pembagi, lalu kita tambahkan pada hasil antara.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Jika dikalikan kembali dengan polinomial kedua, kita mendapat 7

$(2 x^{2}) \cdot \frac{7}{2 x^{2}} = 7$

sehingga setelah pengurangan kita mendapat nol.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \\ \underset{―}{- 7} \\ 0 \end{array}$

Algoritmanya selesai di sini, karena kita sudah sampai di nol.

Contoh ketiga

Polinomial kedua kita tambah dengan satu suku lagi.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5)$

Pada langkah pertama, suku pertama polinomial pertama dibagi dengan suku pertama polinomial kedua, sama seperti pada contoh sebelumnya.

$6 x^{7} / 3 x^{3} = 2 x^{4}$

Pada langkah berikutnya, hasil antara ini dikalikan dengan seluruh polinomial kedua, lalu dikurangkan dari polinomial pertama.

$(3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} = 6 x^{7} + 10 x^{4}$

Kita tulis dengan rapi di bawah soal.

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \end{array}$

Kita lanjutkan: suku pertama polinomial yang baru dibagi dengan suku pertama polinomial kedua.

$9 x^{4} / 3 x^{3} = 3 x$

Kalikan dengan seluruh polinomial kedua:

$(3 x^{3} + 5) \cdot 3 x = 9 x^{4} + 15 x$

Tulis dan kurangkan:

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \\ \underset{―}{- (9 x^{4} + 15 x)} \\ - 15 x + 7 \end{array}$

Sisa ini tidak bisa lagi dibagi dengan rapi, jadi kita cukup menambahkan pecahan dari kedua polinomial.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}$

Jika kita melakukan perkalian kembali dan pengurangan, kita langsung mendapat nol seperti pada contoh sebelumnya. Sekarang kita periksa hasilnya. Sebelum pemeriksaan yang menyeluruh, kita bisa mencoba uji cepat. Kita substitusikan suatu nilai yang mudah, misalnya nol, ke dalam bentuk-bentuknya. Jika nol kita substitusikan ke hasil pembagian, kita peroleh

$0 + 0 + \frac{0 + 7}{0 + 5} = \frac{7}{5} .$

Jika nol kita substitusikan ke bentuk yang dibagi, kita peroleh

$(0 + 0 + 7) / (0 + 5) = \frac{7}{5} .$

Jika perhitungan kita benar, kedua nilai harus sama. Ternyata keduanya memang sama. Cara ini tidak menjamin kebenaran sepenuhnya, karena kita harus menguji semua nilai yang mungkin untuk x. Namun, cara ini bisa dengan cepat menemukan kesalahan. Kita coba hal yang sama dengan bilangan 1. Substitusi ke hasil pembagian menghasilkan:

$2 + 3 + \frac{- 15 + 7}{3 + 5} = 5 - \frac{8}{8} = 4.$

Substitusi ke bentuk awal menghasilkan

$(6 + 19 + 7) / (3 + 5) = \frac{32}{8} = 4.$

Hasilnya menjanjikan, tetapi untuk memastikannya kita harus melakukan seluruh perkalian.

$\begin{array}{rcl} (3 x^{3} + 5) \cdot (2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}) & = & (3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} + (3 x^{3} + 5) \cdot 3 x + (- 15 x + 7) \\ = & 6 x^{7} + 10 x^{4} + 9 x^{4} + 15 x - 15 x + 7 \\ = & 6 x^{7} + 19 x^{4} + 7 \end{array}$

Daftar isi: Polinomial, Pembagian polinomial oleh polinomial, Akar polinomial (suku banyak), Pemfaktoran polinomial

« Artikel sebelumnya: Polinomial

Artikel berikutnya: Akar polinomial (suku banyak) »