Pengamiran bahagian demi bahagian

Pengamiran bahagian demi bahagian (dalam bahasa Latin, per partes) digunakan apabila kita mahu mencari antiterbitan bagi fungsi yang berbentuk hasil darab.

Cara rumus diperoleh

Kita mulakan dengan rumus terbitan yang biasa.

$$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$$

Andaikan kita mempunyai fungsi u dan v yang boleh dibezakan pada suatu selang J, iaitu u′ dan v′ wujud. Sekarang kita kamirkan kedua-dua belah. Kita peroleh:

$$\int (u\cdot v{)}^{\prime }=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

Di sebelah kiri, kita boleh membuang kamiran dan terbitan, kerana jika kita membezakan suatu fungsi dan kemudian mengamirkannya semula, kita memperoleh fungsi asal (tanpa mengambil kira pemalar c).

$$u\cdot v=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

Kita jadikan kamiran yang mengandungi terbitan fungsi v sebagai perkara rumus:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Jadi, fungsi $u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$ ialah antiterbitan bagi fungsi u · v′. Kita akan menggunakan hasil ini seterusnya.

Contoh pertama

Melalui satu contoh, kita akan menunjukkan cara menggunakan kaedah bahagian demi bahagian. Kita hitung kamiran

$$\int x\cdot \mathrm{kos}x\text{ d}x$$

Contoh seperti ini tidak dapat diselesaikan dengan cara biasa yang telah diperkenalkan dalam rencana asas tentang kamiran. Oleh sebab fungsi yang diberi berbentuk hasil darab, kita gunakan kaedah bahagian demi bahagian.

Dalam rumus

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

terdapat fungsi u dan v, dan kita perlu memilihnya dengan sesuai. Jadi, apakah yang diminta daripada kita? Mengikut rumus tadi, kita dapat menghitung kamiran $\int u\cdot v^{\prime }$. Namun, soalan tidak mengandungi sesuatu seperti itu. Soalan mengandungi x · kos x, tanpa sebarang terbitan v seperti yang dikehendaki oleh rumus. Oleh itu, kita perlu memecahkan fungsi x · kos x kepada hasil darab dua fungsi. Satu fungsi kita namakan u, dan fungsi yang satu lagi v′.

Pilihan yang sesuai sangat penting, kerana pilihan yang salah akan merumitkan pengiraan. Lihat apa yang kita peroleh di sebelah kanan apabila menggunakan rumus tadi. Ungkapan u · v tidak menjadi masalah, tetapi kita perlu menghitung kamiran $\int u^{\prime }\cdot v$. Jadi, kita perlu tahu cara membezakan fungsi u dan cara mengamirkan fungsi v′.

Kita pilih fungsi seperti berikut:

$$u=x,v^{\prime }=\mathrm{kos}x$$

Dengan ini, kita memperoleh sebelah kiri persamaan, kerana kamiran di sebelah kiri mengandungi hasil darab u · v′. Di sebelah kanan pula terdapat hasil darab u · v dan satu lagi kamiran. Jadi, kita perlu menghitung u′ dan v. Terbitan u mudah:

$$u^{\prime }=x^{\prime }=1$$

Sekarang kita perlu menghitung v daripada v′, iaitu kita kamirkan v′. Sekali lagi: kita memilih v′ = kos x. Namun, di sebelah kanan persamaan kita menggunakan nilai v, tanpa terbitan. Dengan kata lain, jika kita membezakan v yang terdapat dalam kamiran di sebelah kanan persamaan, kita mesti memperoleh v′ yang kita pilih di sebelah kiri persamaan. Jadi, kita mencari fungsi yang, selepas dibezakan, sama dengan kos x. Dengan kata lain, kita kamirkan v′.

$$v=\int v^{\prime }=\int \mathrm{kos}x=\sin x$$

Kita tulis apa yang sudah kita ketahui dalam jadual:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x,& v^{\prime }=\mathrm{kos}x\\ u^{\prime }=1,& v=\sin x\end{array}\right]$$

Daripada jadual ini, kita gantikan nilai-nilai ke dalam rumus

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v,$$

lalu kita peroleh:

$$\int x\cdot \mathrm{kos}x\text{ d}x=x\cdot \sin x-\int 1\cdot \sin x\text{ d}x$$

Kita lihat bahawa kita berjaya mengubah kamiran itu kepada bentuk lain yang lebih mudah diselesaikan. Kita tidak akan mengubah ungkapan x · sin x lagi; kita hanya perlu menghitung kamiran di sebelah kanan. Kamiran ini ialah kamiran mudah daripada jadual:

$$\int \sin x\text{ d}x=-\mathrm{kos}x+c$$

Jadi, kita boleh menulis

$$\begin{array}{rcl}\int x\cdot \mathrm{kos}x\text{ d}x& =& x\cdot \sin x-\int 1\cdot \sin x\text{ d}x\\ & =& x\cdot \sin x-(-\mathrm{kos}x)\\ & =& x\cdot \sin x+\mathrm{kos}x+c\end{array}$$

Inilah jawapannya.

Pilihan fungsi yang salah

Dengan contoh ini, mari kita tunjukkan juga apa yang akan berlaku jika kita memilih fungsi u dan v′ dengan cara lain. Tadi kita memilih

$$u=x,v^{\prime }=\mathrm{kos}x,$$

jadi sekarang kita cuba sebaliknya:

$$u=\mathrm{kos}x,v^{\prime }=x$$

Kita hitung nilai u′ dan v. Kita peroleh:

$$u^{\prime }=(\mathrm{kos}x{)}^{\prime }=-\sin x$$

Sekarang kita kamirkan v′:

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

Kita tulis dalam jadual:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\mathrm{kos}x,& v^{\prime }=x\\ u^{\prime }=-\sin x,& v=\frac{x^2}{2}\end{array}\right]$$

Gantikan ke dalam rumus:

$$\int x\mathrm{kos}x=\mathrm{kos}x\cdot \frac{x^2}{2}-\int -\sin x\cdot \frac{x^2}{2}$$

Kita lihat bahawa langkah ini tidak banyak membantu. Soalan mengandungi kamiran bagi x · kos x, dan dengan kaedah bahagian demi bahagian kita kini sampai kepada kamiran bagi $-\sin x\cdot \frac{x^2}{2}$. Ini bukan jalan yang betul.

Cara memilih fungsi u dan v'

Malangnya, tiada petua umum; anda perlu mempunyai sedikit gerak hati. Anda juga akan terbantu jika melihat apa yang perlu dilakukan dengan fungsi-fungsi itu seterusnya. Rumus asas yang kita gunakan ialah:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Jika kita mengamirkan fungsi f yang berbentuk hasil darab, kita cuba memecahkannya kepada fungsi u dan v′ dengan keadaan f = u · v′. Matlamat kaedah bahagian demi bahagian ialah menjadikan kamiran di sebelah kanan, $\int u^{\prime }\cdot v$, lebih mudah daripada kamiran di sebelah kiri. Ungkapan u · v tidak begitu penting; ungkapan itu boleh serumit mana pun.

Supaya kamiran di sebelah kanan menjadi lebih mudah, sebaiknya kita pilih sebagai u fungsi yang menjadi lebih mudah selepas dibezakan. Biasanya fungsi itu berbentuk xⁿ, kerana selepas pembezaan darjahnya berkurang satu. Contohnya, daripada x² kita memperoleh 2x, dan daripada x kita memperoleh 1. Itu sangat ideal.

Sebaliknya, sebagai v′ kita cuba mengambil fungsi yang tidak menjadi lebih rumit selepas dikamirkan. Biasanya kita tidak boleh mengharapkan fungsi yang lebih mudah selepas mengamirkan v′, tetapi kita boleh mengharapkan fungsi yang lebih kurang sama rumit. Contoh biasa ialah sinus dan kosinus, kerana kamiran satu fungsi memberikan fungsi yang satu lagi, dan hal itu tidak menjadi masalah.

Contoh kedua

Mari kita cuba contoh yang lebih rumit:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x$$

Kamiran fungsi e^x ialah e^x sekali lagi, jadi fungsi ini calon yang ideal untuk dikamirkan. Sebaliknya, terbitan x² ialah 2x, iaitu ungkapan yang lebih mudah. Jadi, kita pilih fungsi seperti berikut:

$$u=x^2,v^{\prime }=e^x$$

Jadual lengkapnya ialah:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x^2,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2x,& v=e^x\end{array}\right]$$

Gantikan ke dalam rumus:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Kita memperoleh kamiran yang lebih mudah, tetapi kita masih belum dapat menghitungnya sepenuhnya. Kita lakukan satu lagi pusingan pengamiran bahagian demi bahagian. Sekarang kita akan menghitung kamiran ini:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Langkahnya sama seperti tadi. Kita pilih fungsi seperti berikut:

$$\left[\begin{array}{cc}u=2x,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2,& v=e^x\end{array}\right]$$

Kita peroleh:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-\int 2e^x\text{ d}x$$

Kita keluarkan nombor 2 ke hadapan kamiran dan memperoleh:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot \int e^x\text{ d}x$$

Kamiran bagi e^x ialah e^x sekali lagi:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot e^x$$

Kita gantikan hasil ini semula ke dalam persamaan sebelumnya:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Selepas penggantian, kita peroleh:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)$$

Sekarang kita hanya perlu menulis hasil ini dalam bentuk yang lebih kemas. Mula-mula, kita buang kurungan dengan mendarab kandungannya dengan −1, kemudian kita faktorkan e^x:

$$\begin{array}{rcl}\int x^2\cdot e^x\text{ d}x& =& x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)\\ & =& x^2\cdot e^x-2x\cdot e^x+2\cdot e^x\\ & =& e^x(x^2-2x+2)\end{array}$$

Inilah jawapannya.

Kamiran logaritma

Kamiran ini ialah contoh klasik pengamiran bahagian demi bahagian. Lihat soalan yang terkenal ini:

$$\int \ln x\text{ d}x$$

Yang menarik tentang kamiran ini ialah walaupun tiada hasil darab di dalamnya, kita akan menyelesaikannya dengan kaedah bahagian demi bahagian. Caranya mudah: kita darabkan logaritma itu dengan satu. Dengan itu, fungsi yang dikamirkan tidak berubah, tetapi kini terdapat pendaraban.

$$\int 1\cdot \ln x\text{ d}x$$

Bagaimanakah kita memilih fungsi u dan v′? Kita belum tahu cara mengamirkan fungsi ln x (kamirannya ialah apa yang sedang kita cari), jadi kita akan membezakan logaritma. Kita akan mengamirkan satu. Daripada sini, kita peroleh:

$$u=\ln x,v^{\prime }=1$$

Terbitan logaritma ialah 1/x:

$$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

dan kamiran bagi satu ialah x:

$$\int 1\text{ d}x=x$$

Kita lengkapkan jadual:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\ln x,& v^{\prime }=1\\ u^{\prime }=\frac{1}{x},& v=x\end{array}\right]$$

Kemudian kita gantikan ke dalam rumus:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x$$

Kita hitung kamiran di sebelah kanan:

$$\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x=\int 1\text{ d}x=x$$

Maka, kita memperoleh jawapannya:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-x+c$$