Pengamiran secara penggantian

Kaedah penggantian ialah kaedah yang sangat berkesan dalam pengamiran. Semasa mengamirkan, kita gantikan sebahagian fungsi dengan fungsi lain, kemudian kita kamirkan dan buat penggantian semula.

Rumus asas

Katakan kita mempunyai fungsi f dan antiterbitannya F pada selang J. Katakan juga kita mempunyai fungsi nyata ϕ yang boleh dibezakan pada selang I, dengan ϕ(I) ⊆ J. Maka

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=F(\varphi (t)).$$

Bagaimanakah kita sampai dari sebelah kiri ke sebelah kanan?

Kita akan menggunakan teorem ini dengan memilih penggantian x = ϕ(t) dan menukar pemboleh ubah pengamiran: daripada dt kita memperoleh dx. Terbitan x terhadap t ialah $\frac{dx}{dt}={\varphi }^{\prime }(t)$, jadi dx = ϕ′(t) dt. Oleh itu, kita ubah kamiran di sebelah kiri dengan menggantikan ϕ(t) dengan x dan seluruh hasil darab ϕ′(t) dt dengan dx:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x$$

Seterusnya, mengikut andaian, F ialah antiterbitan bagi fungsi f, jadi kita boleh menggantikan seluruh kamiran dengan fungsi F:

$$\int f(x)\text{ d}x=F(x)$$

Akhir sekali, kita buat penggantian semula, iaitu sebagai ganti x kita tulis ϕ(t) yang asal:

$$F(x)=F(\varphi (t))$$

Maka, kita memperoleh kesamaan pada permulaan:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\dots =F(\varphi (t)).$$

Lebih kurang beginilah cara kita akan menggunakan teorem ini.

Contoh pertama

Hitung kamiran ini:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

Kita tahu rumus bagi kamiran sin x (atau di sini sin t), tetapi kita tidak tahu rumus bagi sin 6t. Oleh itu, kita gunakan penggantian. Kita buat penggantian berikut: x = 6t. Mengikut rumus tadi:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x,$$

dengan x = ϕ(t). Dalam kes kita, f = sin dan ϕ(t) = 6t. Jadi, mengikut rumus, hubungan berikut berlaku:

$$\int (\sin 6t)\cdot (6t{)}^{\prime }\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

dengan x = 6t. Masalahnya, kita mahu menghitung kamiran bagi sin 6t, bukan kamiran bagi (sin 6t) · (6t)′. Bagaimanakah kita menyelesaikannya? Mari kita bezakan fungsi 6t. Kita peroleh:

$$\int (\sin 6t)\cdot 6\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Nombor enam ialah pemalar, jadi kita boleh mengeluarkannya ke hadapan seluruh kamiran:

$$6\cdot \int (\sin 6t)\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Sekarang kita bahagikan seluruh persamaan dengan enam:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot \int \sin x\text{ d}x,$$

Di sebelah kiri, kita sudah mempunyai fungsi asal yang ingin kita hitung pada permulaan. Kita hanya perlu menghitung kamiran di sebelah kanan. Kamiran bagi sin x sama dengan −kos x:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot (-\mathrm{kos}x),$$

Kemudian kita gantikan semula x dengan 6t:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=-\frac{1}{6}\cdot \mathrm{kos}6t+c,$$

Inilah jawapan akhirnya.

Contoh pertama dengan cara yang lebih mudah

Langkah-langkah tadi memang betul, tetapi penggantian biasanya ditulis dengan cara yang sedikit berbeza. Sekali lagi, soalannya:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

Kita tulis penggantian dalam kurungan selepas kamiran seperti berikut:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]$$

Pada baris pertama, kita tulis penggantian kita, iaitu x = 6t. Sekarang kita bezakan kedua-dua belah: sebelah kiri terhadap x dan sebelah kanan terhadap t. Pada baris kedua lajur pertama, kita sentiasa mempunyai dx, kerana terbitan x sentiasa 1. Jadi, ungkapan dx hanya menunjukkan bahawa kita membezakan terhadap x.

Sebelah kanan kita bezakan seperti biasa terhadap t. Kita peroleh (6t)′ = 6 dan menambahkan dt, kerana kita membezakan terhadap t. Untuk memudahkan kerja, kita juga boleh menulis dt sebagai perkara rumus:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\\ \frac{dx}{6}=dt\end{array}\right]$$

Pada langkah seterusnya, kita lakukan penggantian itu sendiri. Apakah yang perlu digantikan dengan apa? Kita mahu menggantikan 6t dengan ungkapan x; itulah penggantian pertama. Oleh sebab kita memasukkan pemboleh ubah baharu x ke dalam fungsi, kita juga mesti menukar dt. Sebagai ganti dt, kita masukkan ungkapan pada baris ketiga, iaitu dx/6.

Ringkasnya: sebagai ganti 6t kita tulis x (baris pertama), dan sebagai ganti dt kita tulis dx/6 (baris ketiga). Kita peroleh:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]=\int \sin x\frac{dx}{6}$$

Dari sini, langkahnya seperti biasa. Kita keluarkan enam ke hadapan kamiran:

$$\int \sin x\frac{dx}{6}=\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx$$

Kita kamirkan sinus:

$$\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx=\frac{1}{6}\cdot (-\mathrm{kos}x)$$

Kemudian kita gantikan semula x dengan ungkapan 6t:

$$\frac{1}{6}\cdot (-\mathrm{kos}x)=-\frac{1}{6}\cdot \mathrm{kos}6t+c$$

Contoh kedua

Hitung kamiran ini dengan kaedah penggantian:

$$\int \tan t\text{ d}t$$

Kamiran fungsi tangen mungkin terdapat dalam jadual, tetapi kita boleh menghitungnya sendiri. Mula-mula, kita tulis tangen sebagai hasil bahagi sin/kos:

$$\int \tan t\text{ d}t=\int \frac{\sin t}{\mathrm{kos}t}\text{ d}t$$

Kita pilih penggantian berikut: x = kos t. Kita peroleh:

$$\int \frac{\sin t}{\mathrm{kos}t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\mathrm{kos}t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]$$

Sekarang kita jadikan dt sebagai perkara rumus:

$$dt=-\frac{dx}{\sin t}$$

Kini kita boleh menggantikannya ke dalam kamiran. Sebagai ganti kos t kita tulis x, dan sebagai ganti dt kita tulis −dx/sin t.

$$\int \frac{\sin t}{\mathrm{kos}t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\mathrm{kos}t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]=\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}$$

Masalah kecil ialah pemboleh ubah pengamiran yang lama, t, masih terdapat dalam ungkapan itu, iaitu dalam sinus. Nasib baik, kedua-dua sinus boleh dibatalkan, dan yang tinggal ialah:

$$\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}=\int -\frac{dx}{x}$$

Kita tulis semula sedikit supaya ungkapannya lebih kemas. Kita pindahkan dx ke belakang pecahan dan menulis satu pada pengangka. Tanda negatif kita pindahkan ke hadapan kamiran:

$$\int -\frac{dx}{x}=-\int \frac{1}{x}\text{ d}x$$

Kita sudah tahu kamiran bagi 1/x, iaitu logaritma. Jadi, kita peroleh:

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|$$

Akhir sekali, kita gantikan semula x dengan kos t yang asal.

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|=-\ln |\mathrm{kos}t|+c$$

Contoh ketiga

Hitung kamiran ini dengan kaedah penggantian:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Anda mungkin keliru kerana fungsi yang dikamirkan mengandungi dua pemboleh ubah, x dan t. Hal ini tidak menjadi masalah. Daripada dt, kita tahu bahawa kita mengamirkan terhadap pemboleh ubah t, jadi x berkelakuan sebagai pemalar. Jadi, jangan risau dan pindahkan x ke hadapan kamiran:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Kita tidak mempunyai banyak rumus bagi sin³, tetapi ada rumus bagi sin². Jadi, kita ubah fungsi itu seperti berikut:

$$x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t$$

Sekarang kita tulis semula sin² menggunakan rumus sin²t = (1 − kos²t). Kita memperoleh kamiran:

$$x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t=x\cdot \int (1-{\mathrm{kos}}^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t$$

Sekarang kita lakukan penggantian. Pemboleh ubah x sudah digunakan, jadi kita gunakan, misalnya, y. Kita pilih y = kos t

$$x\cdot \int (1-{\mathrm{kos}}^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\mathrm{kos}t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]$$

Kita jadikan dt sebagai perkara rumus:

$$dt=-\frac{dy}{\sin t}$$

Kemudian kita gantikan ke dalam kamiran:

$$x\cdot \int (1-{\mathrm{kos}}^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\mathrm{kos}t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}$$

Sinus-sinus itu sekali lagi dapat dibatalkan dengan kemas:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy$$

Kamiran ini boleh dipecahkan kepada dua kamiran:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy=-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)$$

Kesemuanya terdapat dalam jadual:

$$-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)=-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})$$

Sekarang kita gantikan semula y dengan kos t yang asal:

$$-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})=-x\cdot (\mathrm{kos}t-\frac{{\mathrm{kos}}^{3}t}{3})+c$$

Inilah jawapan akhirnya.