Kamiran tentu

Kamiran tentu digunakan untuk mengukur luas rantau yang dibatasi oleh suatu fungsi.

Motivasi

Diberi fungsi $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$. Sekarang kita boleh bertanya: berapakah luas rantau di bawah lengkung graf dari titik a = 0 hingga titik b = 10? Jadi, kita berminat dengan luas rantau yang dibatasi oleh paksi-x, lengkung graf fungsi f dan garis mencancang pada titik a dan b. Rajah berikut merumuskan semuanya:

Kita berminat dengan luas rantau yang diserlahkan dengan warna biru. Bagaimanakah kita menentukannya? Kita boleh membahagikan seluruh rantau biru kepada beberapa rantau yang lebih kecil, kemudian menghitung luas rantau-rantau kecil itu dan menambahkan semua luas separa ini. Untuk menghitung luas rantau yang lebih kecil, rantau itu mesti mempunyai bentuk yang munasabah supaya luasnya dapat dihitung dengan suatu rumus. Pilihan yang jelas ialah segi empat tepat.

Mula-mula, kita pilih jujukan menokok titik-titik x₀ hingga x_n dengan keadaan x₀ = a, x_n = b. Semakin besar n, semakin tepat hasil yang kita peroleh. Kita pilih jujukan mudah x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₁₀ = 10. Daripada titik-titik bersebelahan, kita bentukkan selang [x_{i − 1}, x_i], iaitu kita memperoleh set selang

$$D=\{[0,1],[1,2],[2,3],\dots ,[9,10]\}$$

Selang pertama kita tandakan D₁, selang kedua D₂, dan seterusnya. Seterusnya, kita cari nilai minimum fungsi f dalam setiap selang D_i. Contohnya, dalam D₁ fungsi f mempunyai nilai minimum pada x = 0, dan f(0) = 0. Dalam D₂, nilai terendah berada pada titik x = 1, dan $f(1)=\sin (1)+\frac{1}{4}\approx 1.0915$. Begitulah seterusnya. Kita tandakan nilai-nilai fungsi ini. Nilai fungsi terendah dalam selang D_i ditandakan m_i. Jadi, m₁ = 0, m₂ ≈ 1.0915 dan seterusnya.

Sekarang kita lukis segi empat tepat dalam graf. Segi empat tepat ke-i mempunyai lebar x_i − x_{i − 1} dan tinggi m_i:

Kita lihat bahawa setiap selang mempunyai satu segi empat tepat yang terletak sepenuhnya di bawah lengkung, tetapi pada masa yang sama setinggi yang mungkin. Tinggi setiap segi empat tepat dalam selang ke-i ialah m_i. Jika kita menambahkan luas segi empat tepat ini, kita memperoleh anggaran kasar luas rantau di bawah lengkung. Semakin banyak segi empat tepat yang kita lukis di bawah lengkung, semakin tepat anggarannya. Luas segi empat tepat ke-i dihitung sebagai s_i = m_i · (x_i − x_{i − 1}), jadi hasil tambah semua segi empat tepat ialah:

$$s=\sum _{i=1}^{10}{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Kita juga boleh melakukan sebaliknya: sebagai ganti nilai fungsi minimum pada selang D_i, kita ambil nilai fungsi terbesar. Nilai-nilai fungsi ini kita tandakan M_i. Segi empat tepatnya kelihatan seperti berikut:

Sekali lagi, setiap selang mempunyai satu segi empat tepat, dan tingginya sentiasa M_i. Sisi atas segi empat tepat hanya menyentuh lengkung pada titik maksimum setempat dalam selang itu. Dengan menambahkan luas segi empat tepat ini, kita memperoleh satu lagi anggaran luas rantau di bawah lengkung. Luas ini dihitung sebagai

$$S=\sum _{i=1}^{10}{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Sekali lagi, jika kita menambah bilangan segi empat tepat, kita memperoleh anggaran yang lebih tepat.

Kita perkenalkan konsep hasil tambah Darboux bawah dan atas. Kita katakan s(D, f) ialah hasil tambah Darboux bawah, dan nilainya ialah

$$s(D,f)=\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

dengan f ialah fungsi selanjar pada selang [a, b], x₀ = a, x_n = b, D ialah petakan selang [a, b] kepada selang-selang yang lebih kecil, dan n ialah bilangan selang tersebut. Hasil tambah Darboux atas ditandakan S(D, f), dan nilainya ialah:

$$S(D,f)=\sum _{i=1}^n{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

dengan f ialah fungsi dan D ialah petakan selang [a, b] kepada n selang.

Secara ringkasnya, semakin besar D, semakin hampir nilai s(D, f) dan S(D, f) antara satu sama lain, sehingga kedua-duanya akhirnya sama di ketakterhinggaan. Jadi, wujud satu sahaja nombor nyata A dengan keadaan

$$s(D,f)\le A\le S(D,f)$$

bagi semua petakan D yang mungkin. Apakah nombor A ini? Nombor A ialah luas rantau di bawah lengkung, kerana inilah satu-satunya nilai yang lebih besar daripada atau sama dengan hasil tambah luas segi empat tepat di bawah lengkung, dan pada masa yang sama lebih kecil daripada atau sama dengan hasil tambah luas segi empat tepat “di atas lengkung”.

Takrif kamiran tentu

Daripada bahagian sebelumnya, kita tahu bahawa bagi fungsi selanjar f pada selang [a, b], berlaku s(D, f) ≤ A ≤ S(D, f) bagi semua petakan D. Nombor A ini dipanggil kamiran tentu fungsi f dari a hingga b. Kita menggunakan tatatanda

$$A={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

Teorem asas kalkulus (rumus Newton–Leibniz) pula menyatakan bahawa hubungan berikut berlaku:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a),$$

dengan F ialah antiterbitan bagi fungsi f. Sebelah kanan persamaan kadangkala ditulis seperti berikut:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={[F(x)]}_a^b$$

Makna geometri kamiran tentu ialah luas rantau di bawah lengkung fungsi bukan negatif f, seperti yang telah disebut. Kita bermula dengan fungsi $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$, jadi mari kita cuba menghitung luas rantau pada selang [0, 10]. Kita hitung kamiran tentu

$${\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x$$

Mula-mula, kita kamirkan fungsi f:

$$\begin{array}{rcl}\int \sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& \int \sin (x)\mathrm{d}x+\int \frac{x}{4}\mathrm{d}x\\ & =& -\mathrm{kos}(x)+c_1+\frac{x^2}{8}+c_2\\ & =& \frac{x^2}{8}-\mathrm{kos}(x)+c_1+c_2\end{array}$$

Jadi, antiterbitan F berbentuk $F(x)=\frac{x^2}{8}-\mathrm{kos}(x)+c$. Kita tulis kamiran tentu itu:

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& F(10)-F(0)\\ & =& \frac{{10}^2}{8}-\mathrm{kos}(10)+c-(\frac{0^2}{8}-\mathrm{kos}(0)+c)\\ & =& \frac{100}{8}-\mathrm{kos}(10)+\mathrm{kos}(0)+c-c\\ & \approx & 12.5+0.839+1\\ & \approx & 14.339\end{array}$$

Anggaran luas rantau di bawah lengkung pada selang [0, 10] ialah 14.339.