Quy tắc tam suất

Quy tắc tam suất được dùng trong các bài toán đơn giản về đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch. Thông thường ta biết ba số liệu phụ thuộc nhau và phải tính số liệu thứ tư. Khi dùng quy tắc tam suất, phải phân biệt cẩn thận tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch, vì cách tính khác nhau.

Đặt vấn đề

Bạn đi cửa hàng mua nước ngọt để dự trữ. Với 100 nghìn đồng bạn mua được 5 chai nước ngọt. Nếu có 200 nghìn đồng thì mua được bao nhiêu chai? Đây là ví dụ điển hình có thể giải bằng quy tắc tam suất.

Lúc này có thể suy luận đơn giản: lần đầu ta có 100 nghìn đồng, lần sau có 200 nghìn đồng. Có thể dự đoán rằng nếu có gấp đôi số tiền thì sẽ mua được gấp đôi số chai. Vậy với 200 nghìn đồng ta mua được 2 · 5 = 10 chai nước ngọt.

Cách lập luận “càng nhiều… càng nhiều” ở trên không phải lúc nào cũng hiển nhiên, vì có thể gặp ví dụ sau: 10 người thợ xây xong một ngôi nhà trong bốn tháng. Hỏi 20 người thợ xây xong ngôi nhà trong bao lâu? Nếu dùng cách lập luận trước (số thợ gấp đôi nên số tháng cũng gấp đôi), ta được 20 người thợ xây xong nhà trong 2 · 4 = 8 tháng.

Cách làm này đương nhiên sai, vì thợ càng nhiều thì xây nhà càng ít tháng. Phải làm ngược lại: số thợ gấp đôi thì xây xong nhà với số tháng giảm một nửa. Ta được kết quả đúng: 20 người thợ xây xong nhà trong 4/2 = 2 tháng.

Hai cách làm khác nhau trên có tên gọi riêng: tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch.

Tỉ lệ thuận

Nếu “càng nhiều… càng nhiều” thì đó là tỉ lệ thuận. Ví dụ:

• Càng có nhiều tiền thì càng mua được nhiều nước ngọt/dưa chuột/xe scooter.
• Nhà báo viết càng nhiều bài thì kiếm được càng nhiều tiền.
• Càng nhiều người đào thì đào được càng nhiều đất.
• Để máy bơm chạy càng lâu thì bơm được càng nhiều nước.

Ví dụ: Một ô tô tiêu thụ 6 lít xăng cho 100 kilômét. Hỏi sau khi đi 250 kilômét, ô tô tiêu thụ bao nhiêu lít xăng? Đây là bài toán tỉ lệ thuận, vì ô tô đi càng xa thì tiêu thụ càng nhiều xăng.

Cách làm: Trước hết viết ra những gì đã biết. Ta dùng bảng sau, giúp thấy rõ những gì đã biết và những gì cần tính:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ lít}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ lít}\end{array}$$

Ở dòng thứ nhất là các số liệu đã biết đầy đủ. Ở dòng thứ hai, bên phải là số liệu chưa biết, bên trái là số liệu ứng với ẩn cần tìm. Trong mỗi cột luôn phải là cùng một loại số liệu, trong trường hợp này mỗi cột hoặc toàn là kilômét, hoặc toàn là lít.

Có một mẹo ghi nhớ giúp bạn giải bài này. Đầu tiên vẽ ở bên phải một mũi tên từ dưới lên trên, như sau:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ lít}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ lít}\uparrow \end{array}$$

Nếu là tỉ lệ thuận, ta vẽ ở bên trái một mũi tên giống như vậy, từ dưới lên trên:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ lít}\\ \uparrow 250\text{ km}& \dots & x\text{ lít}\uparrow \end{array}$$

Bước tiếp theo, lập các phân số từ các cột theo hướng mũi tên. Tử số là số ở chỗ mũi tên bắt đầu, mẫu số là số ở chỗ mũi tên kết thúc. Cho hai phân số này bằng nhau. Từ cột thứ nhất (kilômét) ta được phân số $\frac{250}{100}$, từ cột thứ hai (lít) được phân số $\frac{x}{6}$. Viết thành phương trình:

$$\frac{250}{100}=\frac{x}{6}$$

Đây là một phương trình bậc nhất thông thường, có thể giải bằng các phép biến đổi tương đương. Nhân hai vế với sáu để khử mẫu ở vế phải:

$$6\cdot \frac{250}{100}=x$$

Bây giờ chỉ việc tính x:

$$x=6\cdot \frac{250}{100}=6\cdot \frac{5}{2}=\frac{30}{2}=15$$

Vậy sau khi đi 250 kilômét, ô tô tiêu thụ 15 lít xăng.

Tỉ lệ nghịch

Nếu “càng nhiều… càng ít” thì đó là tỉ lệ nghịch. Ví dụ:

• Càng nhiều người chia nhau một chiếc pizza thì mỗi người được miếng càng nhỏ.
• Mạng internet càng nhanh thì tải phim càng sớm xong.
• Đi càng nhanh thì càng sớm đến nơi.
• Càng nhiều người cùng xây một ngôi nhà thì nhà càng sớm xây xong.

Ví dụ: Máy tính của bạn có tốc độ internet 2 MB mỗi giây, và bạn tải bản ghi một buổi hoà nhạc trong 450 giây. Nếu tốc độ internet là 6 MB mỗi giây thì tải cùng buổi hoà nhạc đó mất bao lâu?

Cách làm giống như với tỉ lệ thuận: viết các số liệu vào một bảng rõ ràng:

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ giây}\\ 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ giây}\end{array}$$

Bây giờ đến các mũi tên. Mũi tên bên phải vẫn từ dưới lên trên, không có gì thay đổi. Nhưng vì đây là tỉ lệ nghịch, mũi tên bên trái sẽ theo hướng ngược lại, từ trên xuống dưới.

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ giây}\\ \downarrow 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ giây}\uparrow \end{array}$$

Các bước tiếp theo như cũ: lập các phân số từ bảng, vẫn theo hướng mũi tên. Ta được các phân số $\frac{2}{6}$ và $\frac{x}{450}$, cho chúng bằng nhau:

$$\frac{2}{6}=\frac{x}{450}$$

Nhân hai vế với 450:

$$450\cdot \frac{2}{6}=x$$

Rồi tính x:

$$x=450\cdot \frac{2}{6}=450\cdot \frac{1}{3}=\frac{450}{3}=150$$

Với đường truyền nhanh hơn, ta tải xong buổi hoà nhạc trong 150 giây.

Để ý rằng cách làm phù hợp với trực giác. Ở bước cuối ta chia 450 cho ba, đúng như dự đoán. Tốc độ tăng từ 2 MB/s lên 6 MB/s là tăng gấp ba lần. Vì vậy ta dự đoán thời gian tải phim sẽ giảm đi ba lần → và phân số $\frac{450}{3}$ biểu thị đúng điều đó.

Ví dụ

Ví dụ thứ nhất: Một phòng ở khách sạn sang trọng có giá 10,5 triệu đồng cho 7 đêm. Nếu muốn ở đó 12 ngày thì phòng đó giá bao nhiêu?

Trước hết viết các số liệu vào bảng:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ ngày}& \dots & 10.500\text{ nghìn đồng}\\ 12\text{ ngày}& \dots & x\text{ nghìn đồng}\end{array}$$

Bây giờ phải xác định đây là tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch. Có phải ở càng lâu thì trả càng ít không? Không, ngược lại: ở càng lâu thì trả càng nhiều. Vậy đây là tỉ lệ thuận. Thêm các mũi tên:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ ngày}& \dots & 10.500\text{ nghìn đồng}\\ \uparrow 12\text{ ngày}& \dots & x\text{ nghìn đồng}\uparrow \end{array}$$

Dựa vào các mũi tên, lập các phân số:

$$\frac{12}{7}=\frac{x}{10.500}$$

Giải phương trình:

$$\begin{array}{rcl}\frac{12}{7}& =& \frac{x}{10.500}\\ 10.500\cdot \frac{12}{7}& =& x\\ x& =& 10.500\cdot \frac{12}{7}\\ x& =& \frac{10.500\cdot 12}{7}\\ x& =& 18.000\end{array}$$

Ở phòng đó 12 ngày sẽ hết 18.000 nghìn đồng, tức là 18 triệu đồng.

Ví dụ thứ hai: 10 người làm thời vụ hái dâu tây, mỗi ngày hái được 50 kg dâu. Hỏi 7 người làm thời vụ mỗi ngày hái được bao nhiêu kilôgam dâu?

Viết các số liệu vào bảng:

$$\begin{array}{rcl}10\text{ người}& \dots & 50\text{ kg}\\ 7\text{ người}& \dots & x\text{ kg}\end{array}$$

Đây là tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch? Ở ví dụ này có một cái bẫy, vì khác với các ví dụ trước, ở dòng có ẩn số, số người lại ít hơn ở dòng thứ nhất. Đừng để điều đó đánh lừa, đây vẫn là tỉ lệ thuận, vì càng nhiều người thì hái được càng nhiều dâu. Hay ngược lại: càng ít người thì càng ít dâu. Đó cũng là tỉ lệ thuận. Vậy cả hai mũi tên đều từ dưới lên trên.

$$\begin{array}{rcl}10\text{ người}& \dots & 50\text{ kg}\\ \uparrow 7\text{ người}& \dots & x\text{ kg}\uparrow \end{array}$$

Lập các phân số:

$$\frac{7}{10}=\frac{x}{50}$$

và tính x:

$$\begin{array}{rcl}\frac{7}{10}& =& \frac{x}{50}\\ 50\cdot \frac{7}{10}& =& x\\ x& =& 50\cdot \frac{7}{10}\\ x& =& 5\cdot 7\\ x& =& 35\end{array}$$

Bảy người làm thời vụ mỗi ngày hái được 35 kg dâu tây.

Ví dụ thứ ba: Mỗi bước chân của An dài trung bình 80 cm. Trên đường từ trường về nhà, An đếm được mình đã đi 1.300 bước. Nếu mỗi bước dài đúng một mét thì An phải đi bao nhiêu bước?

Trước hết lập bảng. Chú ý rằng đề bài cho 80 cm và một mét. Nhưng trong bảng các số liệu phải cùng đơn vị, nên thay cho một mét ta dùng 100 cm. Cũng có thể làm ngược lại và viết 1 mét và 0,8 mét.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ bước}\\ 100\text{ cm}& \dots & x\text{ bước}\end{array}$$

Đây là loại tỉ lệ nào? Bước chân càng dài thì cần càng ít bước để đi hết một quãng đường nhất định, nên đây là tỉ lệ nghịch. Mũi tên bên trái từ trên xuống dưới, mũi tên bên phải từ dưới lên trên.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ bước}\\ \downarrow 100\text{ cm}& \dots & x\text{ bước}\uparrow \end{array}$$

Các phân số như sau:

$$\frac{80}{100}=\frac{x}{1300}$$

Rút x ra và tính:

$$\begin{array}{rcl}\frac{80}{100}& =& \frac{x}{1300}\\ 1300\cdot \frac{80}{100}& =& x\\ x& =& 1300\cdot \frac{4}{5}\\ x& =& \frac{1300\cdot 4}{5}\\ x& =& 1040\end{array}$$

Với cùng quãng đường đó, An chỉ cần 1.040 bước.

Công thức

Như thấy từ các phép tính trên, cách làm luôn giống nhau và dẫn đến những công thức đơn giản. Trước hết viết bảng dưới dạng kí hiệu:

$$\begin{array}{rcl}a& \dots & b\\ c& \dots & x\end{array}$$

Khi đó có các công thức sau. Với tỉ lệ thuận:

$$x=b\cdot \frac{c}{a}$$

Và với tỉ lệ nghịch:

$$x=b\cdot \frac{a}{c}$$