Operasi setara ke atas persamaan

Apabila menyelesaikan persamaan, kita menggunakan operasi setara, iaitu operasi yang tidak mengubah set penyelesaian persamaan. Tujuan operasi setara ialah mengubah persamaan kepada bentuk yang lebih mudah supaya penyelesaiannya dapat dikira.

Pengertian persamaan

Mula-mula, kita lihat secara ringkas apakah persamaan dan bagaimana kita menulisnya. Jika kita mempunyai dua fungsi f(x) dan g(x), kita boleh menyamakan kedua-duanya dan memperoleh persamaan:

$$f(x)=g(x)$$

Dalam kes ini, f(x) dipanggil sebelah kiri persamaan dan g(x) dipanggil sebelah kanan. Fungsi abstrak f(x) dan g(x) boleh digantikan dengan fungsi tertentu, contohnya f(x) = 3x dan g(x) = x + 2. Persamaannya menjadi:

$$3x=x+2$$

Penyelesaian persamaan ialah suatu set, katakan S, dengan setiap x daripada set S menjadikan persamaan itu benar apabila digantikan ke dalamnya. Jadi, penyelesaian bagi persamaan contoh ini ialah set

$$S=\left\{1\right\}.$$

Apabila digantikan ke dalam persamaan, kita memperoleh

$$3\cdot 1=1+2$$

Operasi setara ialah operasi yang tidak mengubah kebenaran persamaan. Dengan kata lain, operasi setara mengubah fungsi f(x) kepada fungsi f₁(x), operasi yang sama mengubah fungsi g(x) kepada g₁(x), dan kesamaan berikut masih benar:

$$f_1(x)=g_1(x).$$

Operasi setara yang pertama dan paling mudah bagi persamaan (bukan ketaksamaan!) ialah menukar sebelah kiri dengan sebelah kanan. Jelaslah bahawa jika

$$f(x)=g(x),$$

maka selepas kedua-dua belah ditukar, persamaan berikut juga benar:

$$g(x)=f(x).$$

Persamaan dibincangkan dengan lebih lanjut dalam artikel Konsep persamaan.

Penambahan

Contoh yang paling mudah ialah menambahkan suatu ungkapan pada kedua-dua belah persamaan. Operasi setara sentiasa dilakukan pada kedua-dua belah persamaan. Katakan kita mempunyai persamaan ini:

$$x-3=1.$$

Persamaan ini boleh diselesaikan dengan menambahkan nombor tiga pada kedua-dua belah. Lazimnya, operasi yang dilakukan ditulis dalam kurungan di hujung baris tempat operasi itu dimulakan, seperti berikut:

$$\begin{array}{rcl}x-3& =& 1\text{(tambah 3)}\\ 3+x-3& =& 1+3\\ x& =& 4\end{array}$$

Secara umum, jika kita mempunyai dua fungsi f(x) dan g(x), kita boleh menambahkan fungsi ketiga h(x) pada kedua-duanya tanpa mengubah kebenaran persamaan.

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& g(x)\text{(tambah }h(x)\text{)}\\ f(x)+h(x)& =& g(x)+h(x)\end{array}$$

Seperti yang dapat dilihat, kita bukan sahaja boleh menambahkan nombor, malah fungsi juga:

$$x=2x+6$$

Lazimnya, kita mahu pemboleh ubah berada di sebelah kiri. Hal ini dapat dicapai dengan menambahkan −2x pada persamaan, atau dengan kata lain, menolak 2x.

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2x+6\text{(tolak }2x\text{)}\\ x-2x& =& 2x-2x+6\\ -x& =& 6\\ x& =& -6\end{array}$$

Sudah tentu, kita juga boleh menambahkan pecahan jika perlu.

$$x-\frac{1}{2}=471$$

Kita tambahkan setengah dan memperoleh jawapannya:

$$\begin{array}{rcl}x-\frac{1}{2}& =& 471\text{(tambah }\frac{1}{2}\text{)}\\ x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}& =& 471+\frac{1}{2}\\ x& =& 471.5\end{array}$$

Penambahan pada persamaan biasanya digunakan apabila anda mahu “memindahkan” suatu ungkapan dari satu belah persamaan ke belah yang satu lagi. Jika anda mempunyai persamaan

$$3=2x+17,$$

bagaimanakah ungkapan yang mengandungi pemboleh ubah, iaitu 2x, dipindahkan ke sebelah kiri? Tambahkan sahaja −2x pada seluruh persamaan. Di sebelah kanan, 2x akan menjadi sifar kerana 2x − 2x = 0. Di sebelah yang satu lagi pula, kita memperoleh −2x:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 2x+17\text{(tolak }2x\text{)}\\ 3-2x& =& 2x-2x+17\\ 3-2x& =& 17\end{array}$$

Pendaraban

Kita juga boleh mendarab persamaan dengan suatu fungsi. Satu-satunya syarat ialah fungsi itu tidak boleh bernilai sifar. Kita tidak boleh mendarab persamaan dengan sifar, mahupun dengan fungsi yang boleh dipermudahkan menjadi sifar, contohnya f(x) = x − x. Jadi, jika kita mempunyai persamaan

$$3x=7,$$

kita boleh mendarabnya dengan dua:

$$\begin{array}{rcl}3x& =& 7\text{(darab dengan 2)}\\ 2\cdot 3x& =& 2\cdot 7\\ 6x& =& 14\end{array}$$

Operasi ini tidak begitu berguna di sini. Pendaraban biasanya digunakan apabila anda perlu menghapuskan pecahan:

$$3=\frac{2}{5x}$$

Jika kita mendarab persamaan ini dengan penyebut pecahan di sebelah kanan, ungkapan 5x akan terbatal berdasarkan sifat pecahan.

$$\begin{array}{rcl}3& =& \frac{2}{5x}\text{(darab dengan }5x\text{)}\\ 5x\cdot 3& =& 5x\cdot \frac{2}{5x}\end{array}$$

Sekarang kita darab pecahan itu dengan 5x. Dengan itu, 5x masuk ke dalam pengangka, dan kemudian ungkapan 5x boleh dibatalkan kerana ungkapan itu terdapat dalam penyebut dan juga dalam pengangka.

$$\begin{array}{rcl}15x& =& \frac{5x\cdot 2}{5x}\\ 15x& =& 2\end{array}$$

Pada awal bahagian ini, kita telah menyatakan bahawa kita tidak boleh mendarab dengan sifar. Namun, kita baru sahaja mendarab dengan ungkapan 5x, dan ungkapan ini mengandungi pemboleh ubah. Jika kita menggantikan sifar untuk pemboleh ubah itu, seluruh ungkapan bernilai sifar, dan tiba-tiba kita sedang mendarab dengan sifar. Apakah yang perlu dilakukan?

Masalah ini diselesaikan dengan menentukan syarat yang membolehkan operasi ini dilakukan. Dalam kes ini, kita perlu menyatakan bahawa kita boleh mendarab dengan 5x hanya jika x tidak sama dengan sifar. Tetapi lihat semula persamaan yang kita darab. Ungkapan 5x sudah pun terdapat di dalamnya, iaitu dalam penyebut pecahan. Apakah maksudnya? Kita tidak boleh membahagi dengan sifar, jadi domain fungsi $\frac{2}{5x}$ sendiri sudah tidak membenarkan x sama dengan sifar.

Jadi, sekali lagi: persamaan ini mengandungi pecahan dengan ungkapan 5x dalam penyebut. Oleh sebab kita tidak boleh membahagi dengan sifar, persamaan ini bermakna hanya jika x tidak sama dengan sifar. Oleh itu, kita boleh mendarab seluruh persamaan dengan 5x tanpa bimbang kerana syarat yang perlu sudah dijamin oleh domain fungsi dalam penyebut.

Pendaraban dengan ungkapan yang lebih rumit

Satu nota penting: jika kita mendarab persamaan dengan suatu ungkapan, kita mesti sentiasa mendarab seluruh sebelah kanan dan seluruh sebelah kiri. Sebagai contoh, ambil persamaan ini:

$$x+2=x-4$$

Jika kita mahu mendarabnya dengan dua, kita perlu mendarab seluruh belah persamaan seperti berikut:

$$\begin{array}{rcl}2\cdot (x+2)& =& 2\cdot (x-4)\\ 2x+4& =& 2x-8\end{array}$$

Tanda kurung itu tidak boleh ditinggalkan kerana kita akan memperoleh hasil yang salah:

$$\begin{array}{rcl}2\cdot x+2& =& 2\cdot x-4\\ 2x+2& =& 2x-4\end{array}$$

Hasilnya berbeza daripada kes sebelumnya. Begitu juga apabila anda mendarab dengan ungkapan yang lebih rumit: anda mesti mendarab seluruh persamaan. Sebagai contoh, ambil persamaan

$$2x+1=\frac{2}{x+3}.$$

Kita darab persamaan ini dengan ungkapan x + 3 untuk menghapuskan pemboleh ubah dalam penyebut di sebelah kanan.

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& \frac{2}{x+3}\text{(darab dengan }(x+3)\text{)}\\ (x+3)(2x+1)& =& (x+3)\frac{2}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)& =& \frac{2(x+3)}{x+3}\end{array}$$

Pecahan itu kini boleh dipermudahkan dengan membahagi pengangka dan penyebut dengan x + 3:

$$\begin{array}{rcl}(x+3)(2x+1)& =& \frac{2(x+3)}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)& =& 2\end{array}$$

Seterusnya, kita kembangkan sebelah kiri persamaan dan akhirnya tolak dua untuk “memindahkan” dua ke sebelah kiri. Dengan itu, sebelah kanan menjadi sifar.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)(2x+1)& =& 2\\ 2x^2+x+6x+3& =& 2\\ 2x^2+7x+3& =& 2\text{(tolak 2)}\\ 2x^2+7x+1& =& 0\end{array}$$

Pembahagian

Sama seperti pendaraban, persamaan juga boleh dibahagi, dengan sekatan yang sama seperti pendaraban: kita tidak boleh membahagi dengan sifar. Pembahagian sebenarnya boleh ditukar menjadi pendaraban dengan mudah. Jika kita mahu membahagi persamaan dengan ungkapan w, hasilnya sama seperti mendarab persamaan dengan pecahan 1/w. Pembahagian sering digunakan dalam contoh seperti ini:

$$12x=7$$

Tidak banyak yang boleh dilakukan dengan persamaan jenis ini. Kita hanya boleh membahagi seluruh persamaan dengan dua belas untuk memperoleh nilai x.

$$\begin{array}{rcl}12x& =& 7\text{(bahagi dengan 12)}\\ x& =& \frac{7}{12}\end{array}$$

Kita akan memperoleh hasil yang sama jika kita mendarab persamaan dengan 1/12:

$$\begin{array}{rcl}12x& =& 7\text{(darab dengan }\frac{1}{12}\text{)}\\ 12x\cdot \frac{1}{12}& =& 7\cdot \frac{1}{12}\\ \frac{12x}{12}& =& \frac{7}{12}\\ x& =& \frac{7}{12}\end{array}$$

Menaikkan kuasa

Apabila menyelesaikan persamaan, kita juga boleh menggunakan kuasa, tetapi dengan sekatan tertentu. Mula-mula, kita ulang kaji sedikit tentang kuasa. Adakah kesamaan ini benar?

$$\sqrt{x^2}=x$$

Jika anda mengkuasaduakan suatu nombor dan kemudian mencari punca kuasa dua hasilnya, adakah anda akan memperoleh semula nombor asal? Soalan ini mengandungi perangkap, dan jawapannya ialah: tidak selalu. Bayangkan anda menggantikan nombor negatif untuk x, contohnya negatif tiga:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{(-3{)}^2}& =& -3\\ \sqrt{9}& =& -3\\ 3& \ne & -3\end{array}$$

Seperti yang dapat dilihat, persamaan itu tiba-tiba tidak benar. Apabila nombor negatif dikuasaduakan, kita memperoleh nombor positif, dan punca kuasa dua bagi nombor positif juga positif. Bilakah kesamaan ini benar? Apabila kita tahu bahawa kita hanya bekerja dengan nombor positif, atau lebih tepat, nombor bukan negatif. Oleh itu, kita boleh mengkuasaduakan persamaan jika kita tahu bahawa kita bekerja dengan nombor positif.

Contohnya, dalam geometri kita sering menyelesaikan persamaan yang mengandungi panjang tembereng garis. Dalam keadaan ini, kita boleh menaikkan kuasa tanpa bimbang kerana panjang tidak boleh bernilai negatif. Apabila menaikkan kuasa atau mencari punca kuasa, peraturannya tetap sama: kita mesti melakukannya pada seluruh persamaan. Contohnya:

$$\sqrt{x+2}=x+4$$

Andaikan kita hanya bekerja dengan nombor positif. Oleh itu, kita boleh mengkuasaduakan seluruh persamaan:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x+4\text{(kuasa duakan)}\\ {\left(\sqrt{x+2}\right)}^2& =& (x+4{)}^2\\ x+2& =& x^2+8x+16\\ x^2+7x+14& =& 0\end{array}$$

Kita memperoleh persamaan kuadratik yang boleh diselesaikan dengan kaedah yang diterangkan dalam artikel tersebut.

Bagaimanakah kita menyelesaikan persamaan yang perlu dikuasaduakan jika kita tidak pasti bahawa kita hanya bekerja dengan nombor positif? Kuasa duakan sahaja persamaan itu, kemudian lakukan semakan. Hal ini kerana pengkuasaduaan boleh menghasilkan nilai yang bukan penyelesaian sebenar persamaan. Contohnya:

$$\sqrt{x}=x-2$$

Kita kuasa duakan persamaan ini:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2\text{(kuasa duakan)}\\ {\left(\sqrt{x}\right)}^2& =& (x-2{)}^2\\ x& =& x^2-4x+4\\ x^2-5x+4& =& 0\end{array}$$

Sekali lagi kita memperoleh persamaan kuadratik, jadi kita selesaikannya dengan teknik yang sesuai, contohnya pemfaktoran (langkah terperinci terdapat dalam artikel yang dipautkan):

$$(x-1)(x-4)=0$$

Satu penyelesaian ialah 1 dan satu lagi ialah 4. Namun, kita tahu bahawa kita telah melakukan operasi yang tidak setara, jadi kita mesti membuat semakan. Kita gantikan penyelesaian ini ke dalam persamaan asal dan tentukan yang mana satu benar-benar penyelesaian persamaan asal. Mula-mula, kita gantikan satu:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2\\ \sqrt{1}& =& 1-2\\ 1& \ne & -1\end{array}$$

Semakan menunjukkan bahawa satu bukan penyelesaian persamaan asal. Bagaimana pula dengan empat?

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2\\ \sqrt{4}& =& 4-2\\ 2& =& 2\end{array}$$

Empat ialah penyelesaian persamaan asal. Kita telah menemui jawapannya.