Тройно правило

Тройното правило се използва при прости пресмятания с права и обратна пропорционалност. Обикновено знаем три взаимно зависими величини и трябва да пресметнем четвърта. При тройното правило трябва внимателно да различаваме правата и обратната пропорционалност, защото пресмятанията са различни.

Мотивация

Отиваш в магазина да си купиш лимонада. За 5 евро купуваш 5 бутилки. Колко бутилки би купил, ако имаше 10 евро? Това е типичен пример, който може да се реши с тройно правило.

В този момент можем да направим просто разсъждение – в първия случай разполагахме с 5 евро, във втория с 10 евро. Може да се очаква, че ако разполагаме с два пъти повече евро, ще купим два пъти повече бутилки. За 10 евро бихме купили 2 · 5 = 10 лимонади.

Предишният подход „колкото повече… толкова повече“ не винаги важи, защото можем да имаме следния пример: 10 зидари построяват къща за четири месеца. За колко време ще построят къщата 20 зидари? Ако използваме предишния подход – зидарите са два пъти повече, значи месеците ще са два пъти повече – получаваме, че 20 зидари биха построили къщата за 2 · 4 = 8 месеца.

Този подход, разбира се, не е верен, защото колкото повече зидари, толкова по-малко месеци ще им трябват да построят къщата. Трябва да действаме обратно: два пъти повече зидари ще построят къщата за два пъти по-малко време. Така получаваме верния резултат: 20 зидари ще построят къщата за 4/2 = 2 месеца.

Двата предишни подхода си имат и имена: права и обратна пропорционалност.

Права пропорционалност

Ако е изпълнено „колкото повече… толкова повече“, става дума за права пропорционалност. Примери:

• Колкото повече пари имаме, толкова повече лимонади/краставици/тротинетки можем да си купим.
• Колкото повече статии напише един журналист, толкова повече пари изкарва.
• Колкото повече копачи копаят, толкова повече изкопават.
• Колкото по-дълго оставим помпата да помпа, толкова повече вода изпомпваме.

Пример: Колата изразходва 6 литра бензин на 100 километра. Колко литра бензин ще изразходва, след като измине 250 километра? Това е пример за права пропорционалност, защото колкото повече километри изминава колата, толкова повече бензин изразходва.

Решение: Първо записваме какво знаем. За целта използваме следната таблица, в която прегледно се вижда какво знаем и какво искаме да пресметнем:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ литра}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ литра}\end{array}$$

В първия ред сме записали данните, които са ни напълно известни. Във втория ред отдясно е величината, която не знаем, а отляво – стойността, за която искаме да пресметнем неизвестното. В колоните винаги трябва да са еднакви величини, в случая във всяка колона трябва да са или винаги километри, или винаги литри.

Има един похват, който ще ти помогне да решиш тази задача. Първо начертай отдясно стрелка отдолу нагоре, така:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ литра}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ литра}\uparrow \end{array}$$

Ако става дума за права пропорционалност, отляво чертаем същата стрелка, отдолу нагоре:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ литра}\\ \uparrow 250\text{ km}& \dots & x\text{ литра}\uparrow \end{array}$$

В следващата стъпка съставяме дроби от колоните по посока на стрелките. Числителят съответства на числото, където стрелката започва, а знаменателят – на числото, където стрелката свършва. Тези дроби приравняваме. От първата колона (километри) получаваме дробта $\frac{250}{100}$, а от втората (литри) дробта $\frac{x}{6}$. Записано като уравнение:

$$\frac{250}{100}=\frac{x}{6}$$

Това е обикновено линейно уравнение, което можем да решим с еквивалентни преобразувания. Умножаваме цялото уравнение с шест, с което се освобождаваме от дробта в дясната страна:

$$6\cdot \frac{250}{100}=x$$

Сега само пресмятаме x:

$$x=6\cdot \frac{250}{100}=6\cdot \frac{5}{2}=\frac{30}{2}=15$$

Резултатът е, че колата, след като измине 250 километра, ще изхарчи 15 литра бензин.

Обратна пропорционалност

Ако е изпълнено „колкото повече … толкова по-малко“, става дума за обратна пропорционалност. Примери:

• Колкото повече хора си разделят една пица, толкова по-малко парче получава всеки.
• Колкото по-бърз е интернетът ни, толкова по-скоро изтегляме филма.
• Колкото по-бързо караме, толкова по-скоро стигаме до целта.
• Колкото повече работници работят по една къща, толкова по-скоро ще бъде построена.

Пример: На компютъра си имаш интернет със скорост 2 MB в секунда и си изтеглил запис на концерт за 450 секунди. За колко време би изтеглил същия концерт, ако имаше интернет със скорост 6 MB в секунда?

Подходът ще е същият като при правата пропорционалност – записваме данните в прегледна таблица:

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ секунди}\\ 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ секунди}\end{array}$$

Сега стрелките. Дясната стрелка отново ще е отдолу нагоре, тук нищо не се променя. Но тъй като става дума за обратна пропорционалност, лявата стрелка ще е в обратна посока, отгоре надолу.

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ секунди}\\ \downarrow 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ секунди}\uparrow \end{array}$$

По-нататък действаме както преди – съставяме от тази таблица дроби, отново по посока на стрелките. Получаваме дробите $\frac{2}{6}$ и $\frac{x}{450}$, които приравняваме:

$$\frac{2}{6}=\frac{x}{450}$$

Умножаваме уравнението с 450:

$$450\cdot \frac{2}{6}=x$$

И пресмятаме x:

$$x=450\cdot \frac{2}{6}=450\cdot \frac{1}{3}=\frac{450}{3}=150$$

Концерта ще го изтеглим с по-бързата връзка за 150 секунди.

Забележи, че подходът е в съгласие с интуицията. В последната стъпка делим 450 на три, което е очаквано. Скоростта се увеличава от 2 MB/s на 6 MB/s, т.е. три пъти. Затова бихме очаквали времето, за което изтегляме филма, да е три пъти по-малко → и точно това изразява дробта $\frac{450}{3}$.

Примери

Първи пример: Стая в един луксозен хотел струва за седем нощувки хиляда и петдесет евро. Колко ще ни струва същата стая, ако искаме да отидем там за дванайсет дни?

Първо записваме данните в таблица:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ дни}& \dots & 1050\text{ евро}\\ 12\text{ дни}& \dots & x\text{ евро}\end{array}$$

Сега трябва да решим дали става дума за права, или за обратна пропорционалност. Вярно ли е, че колкото по-дълго ще пребиваваме там, толкова по-малко ще платим? Не е вярно, вярно е обратното – колкото по-дълго ще сме там, толкова повече ще платим. Следователно става дума за права пропорционалност. Добавяме стрелките:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ дни}& \dots & 1050\text{ евро}\\ \uparrow 12\text{ дни}& \dots & x\text{ евро}\uparrow \end{array}$$

С помощта на стрелките съставяме дробите:

$$\frac{12}{7}=\frac{x}{1050}$$

Решаваме уравнението:

$$\begin{array}{rcl}\frac{12}{7}& =& \frac{x}{1050}\\ 1050\cdot \frac{12}{7}& =& x\\ x& =& 1050\cdot \frac{12}{7}\\ x& =& \frac{1050\cdot 12}{7}\\ x& =& 1800\end{array}$$

Стаята би ни струвала за 12 дни 1800 евро.

Втори пример: 10 сезонни работници берат ягоди и за ден набират 50 кила ягоди. Колко килограма ягоди ще наберат за ден 7 сезонни работници?

Записваме данните в таблица:

$$\begin{array}{rcl}10\text{ души}& \dots & 50\text{ kg}\\ 7\text{ души}& \dots & x\text{ kg}\end{array}$$

Става ли дума за права, или за обратна пропорционалност? В този пример има известен капан, защото за разлика от предишните примери в реда с неизвестното имаме по-малък брой работници, отколкото в първия ред. Не позволявай това да те обърка, все още става дума за права пропорционалност, защото колкото повече работници, толкова повече набрани ягоди. Или обратното – колкото по-малко работници, толкова по-малко ягоди. Това също е права пропорционалност. Така че и двете стрелки ще са отдолу нагоре.

$$\begin{array}{rcl}10\text{ души}& \dots & 50\text{ kg}\\ \uparrow 7\text{ души}& \dots & x\text{ kg}\uparrow \end{array}$$

Съставяме дробите:

$$\frac{7}{10}=\frac{x}{50}$$

и пресмятаме x:

$$\begin{array}{rcl}\frac{7}{10}& =& \frac{x}{50}\\ 50\cdot \frac{7}{10}& =& x\\ x& =& 50\cdot \frac{7}{10}\\ x& =& 5\cdot 7\\ x& =& 35\end{array}$$

Седем работници за ден ще наберат 35 кила ягоди.

Трети пример: Средната дължина на крачката на Георги е 80 cm. По пътя от училище до вкъщи е преброил, че е направил 1300 крачки. Колко крачки би направил, ако една крачка беше точно метър?

Първо таблицата. Внимавай: в условието имаме 80 cm и един метър. В таблицата обаче трябва да имаме данните в една и съща мерна единица, така че вместо един метър използваме 100 cm – бихме могли да изберем и обратния подход и да запишем 1 метър и 0,8 метра.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ крачки}\\ 100\text{ cm}& \dots & x\text{ крачки}\end{array}$$

И каква пропорционалност е това? Колкото по-дълга е крачката ни, толкова по-малко крачки са ни нужни, за да преодолеем определено разстояние, така че става дума за обратна пропорционалност. Лявата стрелка ще е отгоре надолу, дясната стрелка отдолу нагоре.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ крачки}\\ \downarrow 100\text{ cm}& \dots & x\text{ крачки}\uparrow \end{array}$$

Дробите ще изглеждат така:

$$\frac{80}{100}=\frac{x}{1300}$$

Изразяваме и пресмятаме x:

$$\begin{array}{rcl}\frac{80}{100}& =& \frac{x}{1300}\\ 1300\cdot \frac{80}{100}& =& x\\ x& =& 1300\cdot \frac{4}{5}\\ x& =& \frac{1300\cdot 4}{5}\\ x& =& 1040\end{array}$$

На Георги биха му трябвали за същото разстояние само 1040 крачки.

Формули

Както се вижда от предишните пресмятания, подходите са винаги еднакви и водят до прости формули. Първо записваме таблицата символно:

$$\begin{array}{rcl}a& \dots & b\\ c& \dots & x\end{array}$$

Тогава са в сила тези формули. За права пропорционалност:

$$x=b\cdot \frac{c}{a}$$

А за обратна пропорционалност:

$$x=b\cdot \frac{a}{c}$$