Área total do cone

A área total do cone nos diz, simplificando, quanto papel ou chapa gastamos se quisermos fazer ou forrar o cone inteiro. Não a confunda com o volume do cone, que indica quanta água cabe no cone. O cone tem duas partes: embaixo, a base circular e, sobre ela, a superfície lateral, que se afunila até o vértice.

O raio da base r está em vermelho na figura, a altura h em azul e a geratriz do cone g em verde — ela mede a distância do vértice até a borda da base.

Fórmula da área total do cone

Se você quer só a fórmula, a área total A_t de um cone cuja base tem raio r e cuja geratriz mede g é

$$A_t=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r\cdot g$$

A primeira parcela é a área da base, a segunda é a área da superfície lateral. Às vezes a fórmula também é escrita com π · r em evidência:

$$A_t=\pi \cdot r\cdot (r+g)$$

Vamos pegar um cone com raio da base r = 3 e geratriz g = 5. A sua área total é

$$A_t=\pi \cdot 3^2+\pi \cdot 3\cdot 5=9\pi +15\pi =24\pi$$

Se você quer escrever o resultado como um número comum em vez de com pi, substitua pi pelo valor aproximado 3,14:

$$A_t\approx 24\cdot 3,14=75,36$$

Como chegamos a isso?

A base é um círculo comum, então conhecemos a sua área pela fórmula da área do círculo: π · r².

Com a superfície lateral é mais interessante. Se a cortarmos ao longo da geratriz e a abrirmos sobre a mesa, obtemos um setor circular de raio g. A figura mostra a planificação inteira do cone: o setor vermelho é a superfície lateral, o círculo azul é a base. Na figura, a planificação se dobra formando o cone e se desdobra de novo.

O arco laranja do setor era, antes do corte, a borda da base, por isso tem o mesmo comprimento que a circunferência laranja de baixo, ou seja, o comprimento da circunferência 2π r. A circunferência inteira de raio g mediria 2π g. O setor representa, do círculo inteiro de raio g, exatamente a mesma fração que o arco representa da circunferência inteira:

$$\frac{2\pi r}{2\pi g}=\frac{r}{g}$$

No cone do exemplo anterior, são três quintos do círculo, como na figura. O círculo inteiro teria área π · g², e a superfície lateral toma dele a fração $\frac{r}{g}$:

$$A_l=\frac{r}{g}\cdot \pi \cdot g^2=\pi \cdot r\cdot g$$

Somando à superfície lateral também a base, obtemos a fórmula inteira A_t = π · r² + π · r · g.

Exemplo: chapéu de papel

Está chegando uma festa e queremos fazer para ela um chapéu de papel em forma de cone. Embaixo ele deve ter raio de 8 cm, e a altura deve ser de 15 cm. Quanto papel vamos gastar nele?

A fórmula, porém, pede a geratriz g, e não a altura. Mas a altura, o raio e a geratriz formam um triângulo retângulo, então calculamos a geratriz pelo teorema de Pitágoras. Substituímos r = 8 e h = 15:

$$g=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{8^2+{15}^2}$$

Elevamos ao quadrado:

$$g=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$$

Falta extrair a raiz quadrada:

$$g=17$$

Aqui nos espera uma armadilha: o chapéu não tem fundo. Quem usasse a fórmula inteira faria um chapéu com base, e esse é bem ruim de usar. Calculamos, então, apenas a superfície lateral:

$$A_l=\pi \cdot r\cdot g=\pi \cdot 8\cdot 17=136\pi$$

Substituímos o valor aproximado de pi:

$$A_l\approx 136\cdot 3,14=427,04$$

Gastamos no chapéu aproximadamente 427 centímetros quadrados de papel, mais um pedacinho extra para colar.

Calculadora

Informe o raio da base e a geratriz; você pode trocar as unidades em cada campo. A calculadora usa o pi exato e, por isso, chega a um valor um pouco maior que 75,36.

Veja também

• Volume do cone
• Setor circular
• Área total do cilindro
• Área total da pirâmide