Phép cộng và phép trừ
Phép cộng và phép trừ là những phép tính cơ bản nhất, cần thiết cả trong đời sống hằng ngày. Ta có thể cộng rất nhiều loại đối tượng khác nhau, nhưng ở đây chỉ xét phép cộng các số nguyên.
Phép cộng
Phép cộng kí hiệu bằng dấu cộng +. Các số được cộng với nhau gọi là số hạng: trong phép cộng 2 + 3, cả số hai và số ba đều là số hạng. Kết quả gọi là tổng, tức là số năm trong biểu thức 2 + 3 = 5 là tổng.
Ta có thể cộng hầu như mọi loại số: số tự nhiên như 1, 5, 157 hay số âm như -4, -74. Ta cũng có thể cộng số hữu tỉ, tức là phân số, số thực như π và cả số phức. Ngoài ra còn có thể cộng những đối tượng khác như ma trận hay vectơ.
Phép cộng thường được giải thích bằng một rổ táo: nếu trong rổ có ba quả táo và có người cho thêm bốn quả nữa thì bạn có bao nhiêu quả? Bạn sẽ có 3 + 4 = 7 quả.
Cộng các số lớn
Nếu phải cộng 17.564 với 3.272, hẳn khó ai nhẩm ngay ra kết quả. Vì vậy người ta dùng máy tính cầm tay hoặc bút và giấy. Ở đây ta không bàn cách bấm máy mà tập trung vào cách đặt tính trên giấy.
Viết hai số cần cộng thẳng hàng dưới nhau, căn lề phải, sao cho các chữ số cùng hàng (hàng chục, hàng trăm, …) nằm thẳng cột. Bên dưới hai số kẻ một gạch ngang. Ta được:
Bây giờ cộng các chữ số nằm cùng cột. Nếu tổng nhỏ hơn mười, ta chỉ việc viết tổng đó xuống dưới gạch ngang. Ta làm từ phải sang trái, bắt đầu từ hàng thấp nhất. Đầu tiên cộng 4 + 2, được sáu. Sáu nhỏ hơn mười nên ta viết số sáu xuống dưới gạch:
Tiếp theo cộng 6 + 7. Kết quả là 13, lớn hơn mười. Lúc này ta chỉ viết xuống dưới gạch chữ số hàng đơn vị, tức là viết số ba (lấy mười ba trừ đi mười).
Vậy số một bị bỏ ra đã đi đâu, và nó có ý nghĩa gì? Ta đang tính ở cột thứ hai từ phải sang, tức là hàng chục. Thực chất ta đã cộng các chục: 60 + 70 = 130. Ta giữ lại số 30, còn 100 để dành cho sau. Cho lúc nào? Cho bước tiếp theo, cột tiếp theo. Ở bước sau ta cộng các chữ số hàng trăm, và ta đang có thêm một trăm thu được khi cộng các chục. Việc đơn giản nhất là cộng thêm một trăm đó vào bước tiếp theo.
Như vậy, thay vì cộng 5 + 2, ở bước tiếp theo ta cộng 5 + 2 + 1, trong đó số một chính là một trăm có được ở bước trước. Kết quả là tám, nhỏ hơn mười, nên ta viết số tám xuống dưới gạch.
Sang bước tiếp theo không có nghìn nào được nhớ thêm, nên ta chỉ cộng 7 + 3 = 10. Số này không nhỏ hơn mười, nên ta viết chữ số cuối xuống dưới gạch và nhớ một. Ta viết số không và nhớ thêm một chục nghìn sang bước sau.
Ở cột cuối cùng chỉ còn chữ số ở hàng trên. Ở hàng dưới ta coi như có số không, cộng 1 + 0 và đừng quên cộng thêm số một nhớ từ bước trước: 1 + 0 + 1 = 2. Viết số hai xuống dưới gạch.
Thuật toán kết thúc và ta có tổng 17564 + 3272.
Hoạt hình cách đặt tính cộng
Hãy nhập hai số tự nhiên vào các ô dưới đây và xem toàn bộ quá trình tính được minh hoạ bằng hoạt hình.
Biểu diễn phép cộng trên trục số
Phép cộng có thể biểu diễn trên trục số. Trục số là một đường thẳng trên đó đánh dấu các số. Trục số có thể trông như sau:
Để minh hoạ phép cộng hai số trên trục số, chẳng hạn 3+4, ta làm như sau: vẽ một đoạn thẳng bắt đầu từ gốc, tức là từ số không, và kết thúc ở số ba. Khi cộng, đoạn thẳng hướng sang bên phải điểm xuất phát. Như sau:
Bây giờ ta biểu diễn số bốn trên trục số. Lần này ta bắt đầu từ số ba và vẽ từ đó một đoạn thẳng dài bốn đơn vị sang phải:
Điểm cuối của đoạn thẳng thứ hai (màu xanh lá) chính là kết quả: 3 + 4 = 7.
Phép trừ
Phép trừ là phép toán ngược của phép cộng. Nếu cộng một số a với số b rồi lại trừ đi số b, ta được lại số a. Ta minh hoạ cách làm qua ví dụ 158.748 − 99.575. Giống như phép cộng, ta viết hai số thẳng cột dưới nhau:
Kết quả viết dưới gạch ngang như ở phép cộng. Ta làm từ phải sang trái, bắt đầu từ hàng thấp nhất, tức là hàng đơn vị. Nếu chữ số ở trên không nhỏ hơn chữ số ở dưới, ta viết xuống dưới gạch hiệu: chữ số trên − chữ số dưới. (Nói cách khác: nếu chữ số dưới nhỏ hơn hoặc bằng chữ số trên thì cứ trừ bình thường.) Ở hàng đơn vị, chữ số trên không nhỏ hơn, nên ta viết hiệu 8 − 5 = 3.
Dịch sang trái một chữ số, ta ở hàng chục. Ở đây chữ số trên nhỏ hơn chữ số dưới. Khi đó ta cộng thêm mười vào chữ số trên rồi tính như cũ: chữ số trên + 10 − chữ số dưới. Kết quả là 4 + 10 − 7 = 14 − 7 = 7.
Ở hàng chục ta đã mượn thêm mười chục, nên phải nhớ điều đó ở bước tiếp theo. Mười chục là một trăm, vì vậy ở bước sau ta phải trừ thêm một trăm. Nghĩa là cộng số một nhớ từ bước trước vào chữ số năm ở dưới.
Ở hàng trăm, ta xét xem bảy (chữ số trên) có nhỏ hơn sáu (chữ số dưới + 1) không. Không nhỏ hơn, nên ta trừ bình thường: trên trừ dưới. Nhưng khi trừ vẫn phải cộng một vào chữ số dưới, nên kết quả là 7 − (5 + 1) = 7 − 5 − 1 = 1.
Sang bước tiếp theo không có gì để nhớ, vì ở bước này ta không phải mượn hàng cao hơn. Ở hàng nghìn ta không cộng thêm gì. Tuy nhiên tám ở trên nhỏ hơn chín ở dưới, nên phải cộng thêm mười vào chữ số trên. Ta được hiệu 8 + 10 − 9 = 9.
Sang bước tiếp theo ta nhớ một và cộng nó vào chữ số dưới. Chín cộng một là mười, chữ số năm ở trên nhỏ hơn mười. Ta cộng mười vào chữ số trên rồi trừ: 5 + 10 − (9 + 1) = 5.
Lại một lần nữa ta đã mượn hàng cao hơn, nên nhớ một sang bước sau. Ở đó hàng dưới không có chữ số, ta coi là số không. Cộng thêm một thì được một. Chữ số trên không nhỏ hơn chữ số dưới (bây giờ chúng bằng nhau), nên trừ bình thường: 1 − 1 = 0.
Ta đã có kết quả. Có thể bỏ số không ở đầu và viết: 158.748 − 99.575 = 59.173.
Biểu diễn phép trừ trên trục số
Giống như phép cộng, phép trừ cũng có thể biểu diễn trên trục số. Chỉ khác là khi vẽ đoạn thẳng ta đổi hướng: không vẽ sang phải từ điểm hiện tại mà sang trái. Chẳng hạn để tính 2 − 5, ta làm như sau. Trước hết biểu diễn số hai trên trục số theo chiều dương, vì hai là số dương. Số năm bị trừ đi nên sẽ vẽ theo chiều ngược lại.
Bây giờ vẽ đoạn thẳng thứ hai, biểu diễn phép trừ đi năm. Ta bắt đầu từ điểm vừa dừng lại, tức là số hai, nhưng vẽ đoạn thẳng theo hướng ngược lại, sang trái.
