Phép chia

Phép chia là phép toán ngược của phép nhân. Đồng thời phép chia cũng là nguồn cảm hứng cho nhiều chuyện vui, vì ai cũng biết không được chia cho 0, kẻo quyển vở sẽ bốc cháy.

Phép chia là gì

Có thể hình dung phép chia như việc chia một vật lớn thành những phần nhỏ bằng nhau. Chẳng hạn bố cần cưa một tấm gỗ dài 100 cm thành năm phần bằng nhau. Mỗi phần dài bao nhiêu?

Ta có thể làm ngược lại: cộng độ dài của cả năm phần đã cưa thì phải được lại số 100. Số nào thoả mãn điều đó? Đó là số 20, vì 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100. Thay vì phép cộng ta cũng có thể dùng phép nhân, tức là hỏi: số nào nhân với năm thì được một trăm? Vẫn là số 20, vì 5 · 20 = 100.

Bằng hình vẽ, có thể biểu diễn điều này như việc chia một đoạn thẳng dài 100 thành năm phần dài bằng nhau:

Muốn chia số 100 cho số 5, ta tìm xem “số năm nằm gọn trong số một trăm bao nhiêu lần”. Phép chia được viết bằng dấu gạch chéo: 100 / 5 hoặc bằng dấu hai chấm: 100 : 5. Kết quả của phép chia hai số gọi là thương. Trong các ví dụ trên, số 20 là thương của 100 và 5. Số bên trái gọi là số bị chia, số bên phải gọi là số chia. Phép chia cũng có thể viết dưới dạng phân số: thay cho 100 / 5 có thể viết $\frac{100}{5}$. Tóm tắt các tên gọi:

$$a:b=\frac{a}{b}=c$$

• a gọi là số bị chia,
• b gọi là số chia,
• c gọi là thương.

Định nghĩa qua phép nhân

Thương có thể định nghĩa đơn giản nhất qua phép nhân. Lấy ví dụ thương của hai số: 35 / 7. Kết quả bằng bao nhiêu? Ta tìm số mà khi nhân với 7 thì được 35. Nếu chia 48 / 8, ta tìm số mà nhân với 8 thì được 48.

Vậy kết quả của 35 / 7 là số 5, vì 7 · 5 = 35. Kết quả của 48 / 8 là số 6, vì 8 · 6 = 48.

Tổng quát, khi chia a / b, kết quả là số c thoả mãn b · c = a.

Mặc dù các ví dụ trên chỉ dùng số tự nhiên, nhưng nhờ định nghĩa qua phép nhân, ta có thể chia cả những số bất kì khác. Chẳng hạn có thể tìm thương −85,76 / 6,7 bằng cách tìm số x thoả mãn 6,7 · x = −85,76. Điều này đúng với x = −12,8.

Chia số 0 cho một số khác

Có thể chia số 0 cho một số, biểu thức sau hoàn toàn hợp lệ: 0 / 15. Thực chất ta nói rằng muốn chia số không thành 15 phần bằng nhau. Hãy hình dung ta không có cái bánh nào, và muốn chia cái bánh không có đó thành 15 phần: mỗi phần lớn bao nhiêu? Mỗi phần bằng không, vì đơn giản là ta chẳng có cái bánh nào. Hoặc hình dung trong ví có 0 đồng và bạn muốn chia 0 đồng đó cho ba đứa trẻ. Mỗi đứa được bao nhiêu? Chẳng được gì, vì đơn giản là bạn chẳng có gì. Do đó 0 / 15 = 0.

Có thể chia số 0 cho số khác, nhưng không thể chia một số cho 0. Biểu thức sau không hợp lệ: 8 / 0.

Vì sao không thể chia cho 0?

Không thể chia cho 0, vì điều răn thứ mười một cấm làm vậy.

Nhưng cũng có những lí do thuyết phục hơn. Trước hết xét trường hợp số bị chia khác không, tức là phép chia có dạng a / 0 với a ≠ 0. Ta nêu hai lí do:

1. Hãy giữ cách so sánh với việc chia một vật thành những phần nhỏ bằng nhau. Ta có 15 tấm thẻ bài hiếm nhất. Bây giờ ta muốn chia chúng cho không đứa trẻ nào. Mỗi đứa trẻ được bao nhiêu tấm thẻ?

Hả???

Đúng vậy, bạn đọc đề không sai, và đúng vậy, đề bài vô nghĩa. Không thể hỏi mỗi đứa trẻ được bao nhiêu tấm thẻ khi chẳng có đứa trẻ nào để nhận thẻ. Vì vậy phép chia cho 0 cũng vô nghĩa, và ta nói rằng biểu thức x / 0 không xác định.

2. Ta đã định nghĩa phép chia qua phép nhân. Khi thử chia cho 0, chẳng hạn 15 / 0, ta tìm số x thoả mãn x · 0 = 15. Nhưng mọi số nhân với không đều bằng không, nên không bao giờ tìm được x để đẳng thức này có nghĩa.

Còn thương 0/0 thì sao?

Thương này cũng không xác định, giống như x / 0. Lí do:

Lần này ta có không tấm thẻ bài hiếm nhất và muốn chia chúng cho không đứa trẻ nào. Đây lại là một yêu cầu vô nghĩa.

Theo định nghĩa phép chia, khi chia 0 / 0, ta tìm số x thoả mãn x · 0 = 0. Ta sẽ tìm được nghiệm, hay chính xác hơn: mọi số thực đều là nghiệm của phương trình này. Dù thay x bằng 4, 1 hay π, phương trình đều được thoả mãn. Đương nhiên không thể chấp nhận kết quả của phép chia là cả tập số thực, điều đó vô nghĩa.

Ta sẽ phải chọn từ cả tập hợp đó một số cụ thể và tuyên bố rằng đúng số này là kết quả của phép chia 0 / 0. Nhưng chọn số nào? Nên bằng một? Bằng tám? Bằng không? Bằng âm một? Và vì sao? Thử nêu lập luận ủng hộ số không và số một:

1. Ta biết rằng phân số dạng x / x bằng một. Chẳng hạn 7 / 7 = 1 hay 3 / 3 = 1. Từ đó có thể suy ra rằng nên định nghĩa 0 / 0 sao cho 0 / 0 = 1.
2. Xét dãy các phân số chắc chắn hợp lệ sau. Trong mỗi phân số, ta chia số 0 cho một số ngày càng gần 0:

$$\begin{array}{rcl}\frac{0}{1}& =& 0\\ \frac{0}{0,1}& =& 0\\ \frac{0}{0,01}& =& 0\\ \frac{0}{\mathrm{0,001}}& =& 0\\ \frac{0}{\mathrm{0,000}1}& =& 0\\ & \dots & \\ \frac{0}{\mathrm{0,000}0000001}& =& 0\\ & \dots & \\ \frac{0}{0}& =& 0?\end{array}$$

Ta thấy dù chia cho một số gần không đến đâu, thương vẫn luôn bằng không. Từ đó có thể suy ra 0 / 0 = 0.

Cả hai đều là những lập luận hợp lí cho cách định nghĩa thương 0 / 0. Nhưng lập luận nào tốt hơn? Rốt cuộc, kể cả khi chọn một trong hai và tuyên bố đó là cách duy nhất đúng, ta vẫn sẽ đi đến mâu thuẫn với những phần khác của toán học.

Vì vậy người ta để phép chia cho 0 là không xác định.

Lập luận cuối cùng chống lại phép chia cho 0

Nếu các lập luận trên vẫn chưa đủ, hi vọng bức ảnh tư liệu sau về một trường hợp có người thực sự đã thử chia cho 0 sẽ thuyết phục được bạn: