Vì sao không thể chia cho 0
Hãy thử bấm 6:0 trên máy tính cầm tay. Máy sẽ “nổi loạn” và thay cho kết quả hiện ra chẳng hạn “Error” hoặc “E”. Đây không phải là ý thích của thầy cô hay của nhà sản xuất máy tính. Ta sẽ xem một vài lí do vì sao không thể chia cho 0, và tất cả đều dẫn đến cùng một kết luận.
Phép chia là phép nhân ngược
Khi tính 12:3, ta tìm số mà nhân với ba thì được 12. Số đó là 4, vì
Vậy 12:3 = 4. Phép chia được định nghĩa như thế, và mỗi thương đều có thể thử lại bằng phép nhân.
Bây giờ áp dụng cách làm này cho số không. Nếu 6:0 là một số x nào đó, thì phải có
Nhưng mọi số nhân với không đều bằng không, như ta biết từ phần nhân với số 0. Dù thay x bằng một, một triệu hay âm ba, kết quả luôn bằng 0, không bao giờ bằng 6. Số x như vậy đơn giản là không tồn tại, nên thương 6:0 không có kết quả nào.
Số 0 nằm gọn bao nhiêu lần?
Phép chia cũng có thể xem như phép trừ lặp lại. Thương 12:3 cho biết phải trừ ba khỏi mười hai bao nhiêu lần thì về không:
Số ba nằm gọn bốn lần, nên 12:3 = 4.
Còn với 6:0, ta sẽ cứ trừ toàn số không khỏi sáu. Sau lần trừ thứ nhất còn 6, sau lần thứ mười vẫn còn 6, sau lần thứ một triệu lại là 6, chỉ có điều ta đã chán từ lâu. Ta không bao giờ về được không, có thể trừ mãi mãi. Không có số lần trừ nào có thể viết ra làm kết quả.
Điều gì xảy ra gần số không
Không được chia cho 0, nhưng được chia cho những số rất gần 0. Lấy số một và chia cho các số ngày càng nhỏ:
Số chia càng nhỏ thì kết quả càng lớn. Với số chia 0,000001 kết quả đã là một triệu, và kết quả tăng lên vô hạn.
Nếu tiến đến không từ phía số âm, chẳng hạn 1:(−0,001) = −1.000, kết quả ngày càng nhỏ và tiến đến âm vô cực. Đồ thị hàm số
Bên phải số không, đường cong vọt lên trên; bên trái số không, nó lao xuống dưới. Như vậy từ bên phải kết quả tiến đến dương vô cực, từ bên trái tiến đến âm vô cực: mỗi phía kéo ta về một hướng. Vì thế “vô cực” cũng không thể là kết quả của 1:0. Ai muốn tìm hiểu thêm có thể xem bài về giới hạn một bên, nơi cách biến thiên này được mô tả chặt chẽ.
Sao không nói luôn kết quả là vô cực?
Hãy thử và xem điều gì đổ vỡ. Giả sử 1:0 = ∞. Lập luận tương tự cũng cho 2:0 = ∞, vì số hai chia cho các số ngày càng nhỏ cũng tăng lên vô hạn.
Bây giờ kiểm tra cả hai thương bằng phép nhân, như ở đầu bài. Từ 1:0 = ∞ suy ra ∞ · 0 = 1, và từ 2:0 = ∞ suy ra ∞ · 0 = 2. Vế trái trong hai trường hợp giống nhau, nên phải có
Điều đó đương nhiên sai. Vậy không thể tính toán với vô cực như với một số thông thường.
Tuy vậy, các nhà toán học không ngại đưa ra những số mới. Căn bậc hai của âm một không tồn tại trong tập số thực, nên người ta đưa ra số mới i thoả mãn i2 = −1. Từ đó ra đời số phức, và trong đó phép cộng, phép nhân hay tính toán với dấu ngoặc vẫn hoạt động như cũ. Với phép chia cho 0 thì không làm được như vậy: dù số mới trông thế nào, nếu nó tuân theo các quy tắc tính toán thông thường thì ta luôn đi đến điều kiểu như 1 = 2, và chính việc tính toán sẽ sụp đổ.
Còn 0 chia cho 0 thì sao?
Ở đây khó khăn lại ngược lại. Nếu 0:0 = x, thì phải có x · 0 = 0. Nhưng mọi số đều thoả mãn đẳng thức này: 5 · 0 = 0, 1 · 0 = 0 và cả (−7) · 0 = 0. Kết quả sẽ không duy nhất, ta không biết nên chọn số nào, vì vậy thương 0:0 cũng không được định nghĩa. Có thể đọc thêm về nó trong bài phép chia.
Chứng minh rằng 1 = 2
Phép chia cho 0 có thể ẩn nấp rất khéo. Cho hai số bằng nhau a = b, khác không, và biến đổi:
Phân tích vế trái theo hằng đẳng thức a2 − b2 = (a + b)(a − b), còn ở vế phải đặt nhân tử chung b:
Vì a = b nên có thể thay a bằng b:
Mỗi bước đều trông vô hại, vậy mà ta đã “chứng minh” được một điều vô lí. Sai ở đâu? Hãy thử tự tìm ra trước khi đọc tiếp.
Lỗi nằm ở bước chia cho biểu thức a − b. Vì a = b nên a − b = 0, tức là ta đã chia cả hai vế cho 0. Vì vậy khi biến đổi phương trình luôn phải kiểm tra xem biểu thức mà ta chia cho có thể bằng không hay không. Còn phép chia cuối cùng cho b thì không sao, vì b khác không.