Phân thức đại số

Phân thức đại số là biểu thức dạng phân số có đa thức ở cả tử và mẫu. Với phân thức đại số, ta thường tìm cách rút gọn nó thành một biểu thức ngắn gọn, đẹp hơn.

Kiến thức cơ bản

Nhắc lại, phân thức đại số có dạng sau:

$$\frac{\text{đa thức}}{\text{đa thức}}$$

Ví dụ về một phân thức đại số:

$$\frac{x^2-1}{x+1}$$

Nhiệm vụ là rút gọn biểu thức này. Khi rút gọn, ta dùng các cách làm giống như khi biến đổi đa thức, chẳng hạn đặt nhân tử chung và các hằng đẳng thức đáng nhớ. Phần tiếp theo tóm tắt các phép biến đổi hay dùng nhất.

Ở đây mẫu của phân thức đại số phải chứa biến; chẳng hạn biểu thức sau thực chất chỉ là một đa thức, nên ta không xét nó như một phân thức đại số:

$$\frac{2x+3}{2}$$

Với phân thức đại số, ta cũng thường xác định điều kiện để phân thức có nghĩa (điều kiện xác định). Đó là mẫu phải khác 0, vì như ta đã biết, không thể chia cho 0.

Các kĩ thuật

Khi biến đổi biểu thức, ta dùng nhiều kĩ thuật; dưới đây tóm tắt những kĩ thuật thường gặp. Trước hết là rút gọn phân thức. Nếu ở cả tử và mẫu các biểu thức chỉ nhân với nhau, ta có thể rút gọn:

$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$

Ở đây ta đã rút gọn biến a. Nếu phân thức có dạng

$$\frac{2a+10}{5a}\ne \frac{2+10}{5},$$

thì không rút gọn được. Tử số là một tổng, nên không được phép rút gọn. Thường gặp trường hợp tử hoặc mẫu là một tổng, nhưng có thể đặt nhân tử chung rồi mới rút gọn. Chẳng hạn ở phân thức

$$\frac{5a+6ab}{2a}$$

tử số là một tổng, nhưng có thể đặt a ra ngoài rồi rút gọn

$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$

Một phép biến đổi hay dùng khác là phân tích theo một hằng đẳng thức. Ở trên ta có phân thức

$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$

Áp dụng cho tử số hằng đẳng thức

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$

ta được phân thức mới

$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$

và bây giờ có thể rút gọn cả ngoặc (x + 1):

$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$

Ngoài ra đương nhiên còn cộng và nhân đa thức, biến đổi luỹ thừa, cộng phân số, v.v.

Ví dụ thứ nhất

Đề bài:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$

Ta thấy ở cả tử và mẫu đều có thể đặt số hai ra ngoài, rồi rút gọn:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$

Ở tử còn có thể đặt tiếp số ba ra ngoài:

$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$

Rút gọn cả biểu thức a + 2b, chỉ còn lại số ba:

$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac{3}{1}=3$$

Điều kiện xác định của phân thức này:

$$a+2b\ne 0$$

Ví dụ thứ hai

Đề bài:

$$(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2})\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Bước đầu tiên, trừ các phân thức trong ngoặc:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Tiếp theo nhân phá ngoặc ở mẫu. Học sinh tinh ý có thể nhận ra rằng có thể áp dụng hằng đẳng thức a² − b²:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Mẫu của phân thức thứ nhất giống tử của phân thức thứ hai, và vì hai phân thức này nhân với nhau nên có thể rút gọn biểu thức đó:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot \frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$

Bây giờ phải làm một chút việc “chân tay”: nhân phá các ngoặc ở tử, cộng lại và cuối cùng rút gọn:

$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$

$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$

Điều kiện xác định lấy từ đề bài. Ở đó có tất cả ba phân thức, không mẫu nào được bằng 0.

$$\begin{array}{rcl}x& \ne & 2\\ x& \ne & -2\\ x& \ne & 0\end{array}$$

Ví dụ thứ ba

Đề bài của phân thức tiếp theo:

$$(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2)\cdot (\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1})$$

Đầu tiên lại cộng và trừ các biểu thức trong ngoặc. Hiệu thứ nhất đơn giản, vì hai phân thức có cùng mẫu.

$$(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2)\cdot \left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

nhân phá ngoặc và cộng các biểu thức ở tử:

$$(\frac{2b}{ab}+2)\cdot \left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

Ở phân thức thứ nhất rút gọn biến b, còn số hai thì viết thành phân thức có mẫu a để cộng được với phân thức thứ nhất:

$$(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a})\cdot \frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$

Cộng các phân thức trong ngoặc thứ nhất, còn ở phân thức thứ hai đặt a ra ngoài ở tử.

$$\frac{2+2a}{a}\cdot \frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Bây giờ có thể rút gọn a:

$$\frac{2+2a}{\boxed{\text{a}}}\cdot \frac{\boxed{\text{a}}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$

Giờ chỉ việc nhân biểu thức bên trái với phân thức.

$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Đặt số hai ra ngoài ở ngoặc thứ nhất:

$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Bây giờ có thể rút gọn (1 + a) (ở mẫu có cùng biểu thức đó, chỉ viết theo thứ tự ngược lại a + 1).

$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$

Đây là phân thức đã rút gọn cuối cùng, không thể làm gì hợp lí hơn với nó nữa. Điều kiện xác định:

$$\begin{array}{rcl}ab& \ne & 0\to a,b\ne 0\\ a& \ne & -1\\ b& \ne & -1\end{array}$$

Phép chia đa thức

Phân thức đại số cũng có thể giải bằng thuật toán chia đa thức cho đa thức. Cách này có lợi khi không dùng được các công cụ biến đổi biểu thức quen thuộc.