Đa thức

Đa thức là biểu thức chứa biến x cùng các phép toán thông thường: cộng, nhân và nâng lên luỹ thừa với số mũ nguyên không âm. Các đa thức lại có thể cộng, trừ, nhân, chia và nâng lên luỹ thừa với nhau.

Các hệ thức cơ bản

Ví dụ về một đa thức đơn giản:

$2 x^{2} + 5 x - 12$

Tổng quát, đa thức có thể viết như sau

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0},$

trong đó các số thực đứng trước x, tức là a_n, gọi là hệ số, còn n gọi là bậc của đa thức. Số n là số mũ cao nhất của đa thức mà a_n ≠ 0. Nếu a_n bằng không thì thực chất biến x đi kèm với hệ số đó bị triệt tiêu, vì 0 nhân với bất kì số nào cũng bằng 0:

$0 \cdot x^{3} = 0.$

Vậy với đa thức nêu đầu tiên, bậc của đa thức là hai, vì số mũ cao nhất của x có hệ số khác không là hai. Với một đa thức khác

$7 x^{2} + 5 x^{4} + 15 x$

thì bậc của đa thức là 4 (số mũ cao nhất là 4). Thông thường ta viết đa thức theo luỹ thừa giảm dần của biến, để hạng tử có số mũ cao nhất đứng đầu. Vậy có thể viết lại đa thức trên như sau:

$5 x^{4} + 7 x^{2} + 15 x .$

Ta thấy đa thức thiếu các hạng tử có số mũ của biến là ba và không. Điều này không sao cả, chỉ cần hình dung hệ số của các hạng tử đó bằng không. Thật vậy, có thể viết

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 15 x^{1} + 0 x^{0} .$

Bây giờ đa thức đã có đủ mọi hạng tử, nhưng lại rối mắt không cần thiết. Vì vậy thường bỏ qua các hạng tử có hệ số bằng không.

Cộng và trừ đa thức

Cộng và trừ đa thức khá đơn giản. Ta chỉ cộng hoặc trừ hệ số của các hạng tử có cùng số mũ. Tức là

$a x^{n} + b x^{n} = (a + b) x^{n} .$

Ví dụ đơn giản:

$3 x^{2} + 5 x^{2} = (3 + 5) x^{2} = 8 x^{2}$

Khi cộng các đa thức dài hơn, luôn phải nhóm các hạng tử có cùng số mũ của biến.

$\begin{array}{r} (7 x^{3} + 5 x^{2} + x) + (2 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) = \\ = (7 + 2) x^{3} + (5 - 3) x^{2} + (1 + 9) x . \end{array}$

Nếu hạng tử với số mũ nào đó không có trong đa thức kia, nó được giữ nguyên (hãy hình dung đa thức thứ hai có hạng tử đó nhưng với hệ số bằng không).

$(x^{3} + 2 x) + (4 x^{2} + 5 x + 3) = x^{3} + 4 x^{2} + 7 x + 3$

Trừ đa thức cũng giống như cộng, chỉ khác là nhân đa thức thứ hai với âm một, tức là đổi dấu tất cả các hạng tử. Ví dụ:

$(3 x^{2} + 6 x) - (2 x^{2} + 14 x) = (3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x)$

Đây đã là phép cộng đa thức quen thuộc, nên cộng như thường lệ:

$(3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x) = x^{2} - 8 x$

Lưu ý rằng nếu đa thức có hạng tử âm thì sau bước biến đổi này nó trở thành hạng tử dương.

$\begin{array}{rcl} (x^{2} + 2 x) - (3 x^{2} - 10 x) = \\ = & (x^{2} + 2 x) + (- 3 x^{2} + 10 x) = \\ = & - 2 x^{2} + 12 x \end{array}$

Nhân đa thức

Khi nhân hai đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức thứ nhất với mỗi hạng tử của đa thức thứ hai. Các hệ số nhân với nhau bình thường như các số thực. Còn số mũ của biến thì chỉ cộng lại theo quy tắc tính với luỹ thừa. Ví dụ:

$(3 x^{2} + 4 x) \cdot 5 x^{2} = (3 \cdot 5) x^{2 + 2} + (4 \cdot 5) x^{1 + 2} = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Ví dụ này mới chỉ nhân với một đa thức có một hạng tử, nên chưa cho thấy rõ cách nhân qua tất cả các hạng tử. Sau đây là một ví dụ dài hơn một chút:

$\begin{array}{rcl} (x^{3} + 2 x) \cdot (4 x^{2} + 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot 7) x^{3 + 1} + (2 \cdot 4) x^{1 + 2} + (2 \cdot 7) x^{1 + 1} \end{array}$

Nếu trong đa thức có dấu trừ thì nó tham gia vào phép nhân như bình thường.

$\begin{array}{rcl} (x^{3} - 2 x) \cdot (4 x^{2} - 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot (- 7)) x^{3 + 1} + (- 2 \cdot 4) x^{1 + 2} + \\ + & (- 2 \cdot (- 7)) x^{1 + 1} = 4 x^{5} - 7 x^{4} - 8 x^{3} + 14 x^{2} \end{array}$

Biến đổi đa thức

Khi biến đổi đa thức, mục đích thường là đưa đa thức về dạng đơn giản hơn. Để làm điều đó ta dùng các kĩ thuật như nhân cả tử và mẫu với cùng một biểu thức, rút gọn, đặt nhân tử chung, áp dụng các hằng đẳng thức, v.v. Nên thuộc các hằng đẳng thức này. Ở đây ta sẽ dùng một vài hằng đẳng thức và nêu chúng khi cần. Một hằng đẳng thức quen thuộc hay được dùng là

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Nếu muốn biết hằng đẳng thức này từ đâu ra, chỉ cần nhân phá ngoặc.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} & = & (a + b) (a + b) \\ = & a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

Ta bắt đầu bằng một ví dụ đơn giản.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} + (a + 2 b)^{2} - 3 a \cdot 2 b = \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} - 6 a b = \\ = & 2 a^{2} + 5 b^{2} \end{array}$

Hai ngoặc bên trái được khai triển theo hằng đẳng thức nêu ở trên. Nhắc lại rằng ngoặc thứ hai được khai triển thành

$(a + 2 b)^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} .$

Một hằng đẳng thức quen thuộc khác là

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) .$

Ví dụ thứ hai, lần này với một phân thức. Cả tử và mẫu đều là đa thức, và ta sẽ biến đổi chúng sao cho có thể rút gọn phân thức cho gọn. Bước đầu tiên, ở tử ta áp dụng hằng đẳng thức thứ nhất theo chiều ngược lại. Ở mẫu ta áp dụng hằng đẳng thức thứ hai. Cuối cùng chỉ việc rút gọn (a + b).

$\begin{array}{rcl} \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} & = & \frac{(a + b)^{2}}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{a + b}{a - b} \end{array}$

Trong ví dụ thứ ba ta áp dụng đặt nhân tử chung. Ở tử, trước hết đặt 3a³ ra ngoài, sau đó phân tích ngoặc (4a² − 1) theo hằng đẳng thức a² − b², với lưu ý rằng

$1^{2} = 1^{1} \to (a^{2} - 1^{2}) = (a + 1) (a - 1) .$

Ở mẫu, trước hết chỉ cần nhân hai hạng tử đầu, cũng đặt 3a³ ra ngoài, cuối cùng rút gọn tất cả.

$\begin{array}{rcl} \frac{12 a^{5} - 3 a^{3}}{2 a^{2} \cdot 3 a^{2} + 3 a^{3}} & = & \frac{3 a^{3} (4 a^{2} - 1)}{6 a^{4} + 3 a^{3}} \\ = & \frac{3 a^{3} (2 a + 1) (2 a - 1)}{3 a^{3} (2 a + 1)} \\ = & 2 a - 1 \end{array}$

Mục lục: Đa thức, Chia đa thức cho đa thức, Nghiệm của đa thức, Phân tích đa thức thành nhân tử

« Bài trước: Vì sao không thể chia cho 0

Bài tiếp: Chia đa thức cho đa thức »