Nguyên hàm

Tìm nguyên hàm là quá trình ngược với tính đạo hàm của hàm số.

Nguyên hàm

Ta bắt đầu bằng một bài toán dễ. Cho hàm số f(x) = 2x. Hãy tìm một hàm số F sao cho đạo hàm của nó bằng hàm số f. Viết hình thức: ta tìm hàm số F sao cho F′ = f.

Từ các công thức tính đạo hàm cơ bản ta biết đó là hàm số F(x) = x². Đạo hàm của hàm số x² đúng bằng 2x. Câu hỏi là đây có phải hàm số duy nhất thoả mãn điều kiện không.

Câu trả lời là không: nếu cộng vào x² một hằng số thực bất kì, sau khi lấy đạo hàm ta vẫn được 2x, vì đạo hàm của hằng số bằng 0. Mọi hàm số dạng x² + c, với c là hằng số thực, đều có thể coi là hàm số F cần tìm.

Bài toán này có thể tổng quát hoá. Cho hàm số thực f, tìm hàm số F sao cho F′(x) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định D, hoặc thuộc một khoảng nào đó nằm trong tập xác định. Hàm số này không nhất thiết duy nhất, nhưng mặt khác cũng có thể hoàn toàn không tồn tại.

Hàm số F như vậy gọi là nguyên hàm của hàm số f. Ta viết:

$$F(x)=\int f(x)\text{ d}x$$

Hàm số f gọi là hàm số dưới dấu tích phân, còn quá trình tìm nguyên hàm gọi là lấy nguyên hàm (hay lấy tích phân). Biểu thức dx cho biết ta lấy nguyên hàm theo biến nào. Nếu viết

$$\int 4x^3\text{ d}x,$$

thì ta cần tìm nguyên hàm của hàm số 4x³, lấy theo biến x. Kết quả có thể là hàm số x⁴, vì đạo hàm của nó đúng bằng 4x³. Tất nhiên có thể cộng thêm vào hàm số này một hằng số thực bất kì.

Có thể chứng minh rằng (trên một khoảng) nguyên hàm hoặc không tồn tại, hoặc luôn có dạng F(x) + c, với c là một hằng số thực. Khi đó có vô số nguyên hàm, vì có vô số hằng số thực. Vậy nếu tìm được một hàm số F(x), ta có thể sinh ra tất cả các nguyên hàm. Đồng thời không có hàm số nào khác, ngoài những hàm số sinh ra theo cách này, là nguyên hàm của hàm số đang xét.

Thêm vài lời về biểu thức dx. Nó có vẻ rất bí ẩn, nhưng thật ra chỉ cho biết ta lấy nguyên hàm theo biến nào. Chẳng hạn với nguyên hàm

$$\int a\cdot b+c\text{ d}b,$$

ta lấy nguyên hàm theo biến b, còn các chữ cái khác a và c được coi là hằng số, tức là chúng “hành xử” như thể ở đó là những con số.

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp

Ta dễ dàng suy ra công thức nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp. Trong cả mục này, giả sử c ∈ ℝ.

Bắt đầu với hàm số f(x) = 0, hàm hằng bằng 0. Hàm số nào có đạo hàm bằng 0? Mọi hàm số chỉ gồm một hằng số:

$$\int 0\text{ d}x=c$$

Tiếp theo là hàm số f(x) = 1. Ta có x′ = 1, nên nguyên hàm của 1 là

$$\int 1\text{ d}x=x+c$$

Tiếp theo là hàm số f(x) = x. Phải lấy đạo hàm của hàm số nào để được kết quả x? Lấy đạo hàm của x² ta được 2x. Kết quả đã gần đúng, chỉ cần chia cho 2. Lấy đạo hàm của (x²)/2 ta được đúng x.

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

Tổng quát hoá cho hàm số xⁿ, với n ∈ ℝ, ta được công thức:

$$\int x^n\text{ d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$

Chú ý rằng công thức này không đúng với n = −1, vì khi đó phải chia cho 0, mà điều đó không được phép. Với n = −1 ta có hàm số f(x) = x⁻¹, tức là hàm số 1/x. Phải lấy đạo hàm của hàm số nào để được 1/x? Đó là lôgarit.

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln x+c$$

Vấn đề là lôgarit chỉ xác định với các số thực dương, nên công thức này không đúng với mọi x thuộc tập xác định D. Tuy vậy công thức này đúng trên khoảng (0; +∞). Trên khoảng (−∞; 0) ta chỉ cần đổi dấu biểu thức bên trong lôgarit: ln(−x). Gộp lại, có thể viết

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln |x|+c$$

Công thức này đúng với mọi x ∈ D. Một số nguyên hàm khác, chẳng hạn của các hàm số lượng giác, có trong bảng sau:

$$\begin{array}{rcl}\int a^x\text{ d}x& =& \frac{a^x}{\ln a}+c\text{với }a>0,a\ne 1\\ \int \sin x\text{ d}x& =& -\cos x+c\\ \int \cos x\text{ d}x& =& \sin x+c\end{array}$$

Nguyên hàm của một tổng

Tính đạo hàm của một hàm số thường khá đơn giản, như người ta nói, đến một chú khỉ được huấn luyện cũng làm được, vì thường chỉ việc làm theo công thức. Với nguyên hàm thì khác. Các cách tìm nguyên hàm phức tạp hơn khá nhiều, vì thế bài toán tìm nguyên hàm khó hơn hẳn bài toán tính đạo hàm. Lí do chủ yếu là ta có công thức đơn giản cho nguyên hàm của một tổng, nhưng không có công thức như vậy cho nguyên hàm của một tích.

Ta thử tính nguyên hàm sau:

$$\int x+1\text{ d}x$$

Tính thế nào? Ta cần một hàm số có đạo hàm là x và một hàm số khác có đạo hàm là 1. Từ các công thức ta đã biết đó là các hàm số (x²)/2 và x. Cộng hai hàm số này, ta được f(x) = (x²)/2 + x. Lấy đạo hàm của hàm số này ta được x + 1. Vậy ta có kết quả:

$$\int x+1\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+x+c$$

Trong khi tính, ta đã dùng một tính chất: nguyên hàm của một tổng bằng tổng các nguyên hàm. Tức là

$$\int f(x)+g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x+\int g(x)\text{ d}x$$

Điều này cũng đúng với hiệu:

$$\int f(x)-g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x-\int g(x)\text{ d}x$$

Vì thế ta có thể viết ví dụ trên như sau:

$$\int x+1\text{ d}x=\int x\text{ d}x+\int 1\text{ d}x$$

Đưa hằng số ra ngoài dấu tích phân

Một tính chất tương tự đúng cho việc đưa hằng số ra ngoài dấu tích phân. Nếu nguyên hàm có dạng:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x,$$

với a là một hằng số thực, ta có thể đưa hằng số này ra ngoài dấu tích phân:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x=a\cdot \int f(x)\text{ d}x$$

Ví dụ

Tìm nguyên hàm:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x$$

Ở bước đầu tiên ta tách thành ba nguyên hàm:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\int x^2\text{ d}x+\int 6x\text{ d}x+\int 42\text{ d}x$$

Ta lần lượt tìm từng nguyên hàm. Nguyên hàm thứ nhất tìm ngay theo công thức cho luỹ thừa xⁿ:

$$\int x^2\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+c$$

Ở nguyên hàm thứ hai, trước hết đưa số 6 ra ngoài:

$$\int 6x\text{ d}x=6\cdot \int x\text{ d}x$$

Nguyên hàm của x lại có trong bảng, bằng (x²)/2. Vậy ta được:

$$6\cdot \int x\text{ d}x=6\cdot \left(\frac{x^2}{2}\right)=3x^2+c$$

Ở nguyên hàm cuối cùng, trước hết cũng đưa số 42 ra ngoài:

$$\int 42\text{ d}x=42\cdot \int 1\text{ d}x$$

Và đây lại là nguyên hàm có trong bảng:

$$42\cdot \int 1\text{ d}x=42x+c$$

Cộng các nguyên hàm thành phần, ta được kết quả:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+3x^2+42x+c$$

Thêm một lưu ý: ở mỗi nguyên hàm thành phần ta đều được một hằng số c, nên khi cộng lại, đáng lẽ kết quả phải viết +3c thay cho +c. Tuy nhiên c là hằng số thực tuỳ ý, nên 3c cũng chỉ là một số thực nào đó. Ta có thể thay c ở các nguyên hàm thành phần bằng c₁, c₂, c₃ rồi nói rằng c = c₁ + c₂ + c₃.