Hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là mọi hàm số cho bởi công thức y = ax + b, trong đó a và b là các số thực. Trường hợp đặc biệt xảy ra khi a = 0, vì khi đó công thức trên rút gọn thành y = b, đây là hàm hằng (một số tài liệu, trong đó có SGK, không xếp hàm hằng vào các hàm số bậc nhất).

Các dạng hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất có đồ thị khá đẹp, vì đồ thị luôn là một đường thẳng. Chẳng hạn, hàm hằng nói trên có đồ thị là đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung tại điểm b. Nếu b = 0 thì đường thẳng luôn đi qua gốc toạ độ (0; 0). Hàm số dạng này biểu diễn hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Các tính chất khác của hàm số bậc nhất phụ thuộc vào a. Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến, còn nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến. Đồ thị hàm số y = ax và đồ thị hàm số y = −ax đối xứng nhau qua trục tung.

Tính chất của hàm số bậc nhất

Nếu a ≠ 0 thì tập xác định của hàm số bậc nhất là tập số thực, tập giá trị cũng vậy. Hàm số nghịch biến hoặc đồng biến tuỳ theo hằng số a. Đây là hàm số đơn ánh, vì không có đường thẳng nằm ngang nào cắt đồ thị hàm số bậc nhất tại nhiều hơn một điểm. Ngoài ra, hàm số không tuần hoàn, liên tục trên toàn bộ tập xác định, không có giá trị lớn nhất cũng không có giá trị nhỏ nhất. Hàm số bậc nhất không chẵn cũng không lẻ; chỉ khi b = 0 thì nó là hàm số lẻ.

Ví dụ

Vẽ đồ thị hàm số y = −3x +1.

Đồ thị hàm số này vẽ rất dễ. Ta biết đồ thị của mọi hàm số bậc nhất là một đường thẳng (về lí thuyết cũng có thể là một đoạn thẳng, nếu chỉ vẽ đồ thị hàm số bậc nhất trên một đoạn nào đó). Điều đó là quá đủ. Để vẽ một đường thẳng, chỉ cần biết toạ độ của hai điểm. Ta tính chúng. Trước hết, thay x bằng số đơn giản nhất là 0. Ta được f(0) = 1. Điểm thứ nhất mà đường thẳng đi qua là (0; 1). Với điểm thứ hai, có thể thay số 1 vào. Ta được: f(1) = −3 + 1 = −2. Điểm thứ hai có toạ độ (1; −2). Bây giờ ta đã có đủ hai điểm cần thiết để vẽ đồ thị hàm số này: