Nghịch lí của lí thuyết tập hợp

Lí thuyết tập hợp ngây thơ có một số nghịch lí thú vị, và chính chúng đã dẫn đến việc xây dựng một lí thuyết tập hợp chặt chẽ hơn. Các nghịch lí này thường dựa trên thực tế là trong lí thuyết tập hợp cổ điển, ngây thơ, một tập hợp có thể chứa chính nó như một phần tử.

Nghịch lí Russell

Một trong những nghịch lí nổi tiếng nhất là nghịch lí Russell. Có thể phát biểu nó như sau: cho tập hợp N gồm đúng những tập hợp không chứa chính nó như một phần tử. Như vậy nếu một tập hợp chứa chính nó như một phần tử thì nó không thuộc tập hợp N. Nếu nó không chứa chính nó thì nó thuộc tập hợp N.

Câu hỏi đặt ra: tập hợp N có chứa tập hợp N, tức là chính nó, như một phần tử hay không?

Xét từng trường hợp, ta thấy: nếu tập hợp N không chứa N thì đó là một tập hợp không chứa chính nó, nên nó phải thuộc tập hợp N, tức là phải có N ∈ N.

Còn nếu tập hợp N chứa phần tử N thì không thể có N ∈ N, vì tập hợp N chỉ gồm những tập hợp không chứa chính nó như một phần tử.

Nghịch lí nằm ở chỗ: trường hợp nào cũng vi phạm một điều kiện. Nếu N ∈ N thì điều đó trái với định nghĩa của tập hợp N (nó chỉ chứa những tập hợp không chứa chính nó, mà ở đây rõ ràng N chứa N như một phần tử), còn nếu N ∈ N không đúng thì ta lại vi phạm định nghĩa của N.

Vì vậy không thể xây dựng một tập hợp như thế, điều mà một lí thuyết tập hợp đúng đắn không được phép gặp phải.

Nghịch lí Russell có một số cách diễn giải gần gũi. Chẳng hạn nghịch lí người thợ cạo. Trong một thị trấn có một người thợ cạo cạo râu cho đúng những người không tự cạo râu cho mình. Câu hỏi đặt ra: người thợ cạo có tự cạo râu cho mình không?

Nghịch lí Cantor

Một nghịch lí khác là nghịch lí Cantor. Nó dựa trên thực tế là với mọi tập hợp M, tập luỹ thừa P(M) của nó (tập hợp tất cả các tập con của M) luôn có lực lượng lớn hơn, tức là lớn hơn tập hợp ban đầu. Với tập hợp hữu hạn, điều này thấy ngay, còn với tập hợp vô hạn cũng dễ chứng minh. Khẳng định này gọi là định lí Cantor; phát biểu chính xác và chứng minh có trên Wikipedia.

Bản thân nghịch lí này đơn giản hơn nghịch lí trước. Hãy hình dung tập hợp của mọi tập hợp, kí hiệu là M. Như vậy với mọi tập hợp N ta có N ∈ M. Nhưng theo định lí Cantor, lực lượng của tập luỹ thừa P(M) lớn hơn lực lượng của M. Điều này mâu thuẫn với việc M chứa mọi tập hợp: nếu tập hợp P(M) lớn hơn M thì nó nhất thiết phải chứa những phần tử mà tập hợp M không chứa.