Парадокси на теорията на множествата

Наивната теория на множествата съдържа някои интересни парадокси, които в крайна сметка са довели до създаването на по-подробна теория на множествата. Тези парадокси често се опират на факта, че в класическата, наивната, теория на множествата е възможно едно множество да съдържа себе си като свой елемент.

Парадокс на Ръсел

Сред най-известните парадокси е парадоксът на Ръсел. Можем да го формулираме така: нека имаме множество N, което съдържа точно тези множества, които не съдържат себе си като свой елемент. Т.е. ако едно множество съдържа себе си като свой елемент, то не принадлежи на множеството N. Ако не съдържа себе си, то принадлежи на множеството N.

Въпросът е дали множеството N съдържа като свой елемент множеството N, т.е. себе си?

Като разгледаме случаите, установяваме, че: ако множеството N не съдържа N, то това е множество, което не съдържа себе си, и трябва да е в множеството N, т.е. трябва да е изпълнено N ∈ N.

Ако обаче множеството N съдържа елемента N, не би трябвало да е изпълнено N ∈ N, защото множеството N съдържа само онези множества, които не съдържат себе си като свой елемент.

Парадоксът е в това, че винаги нарушаваме някое от условията. Ако N ∈ N, това противоречи на определението на множеството N (то съдържа само множества, които не съдържат себе си, а тук очевидно N съдържа N като свой елемент), а ако не е изпълнено N ∈ N, отново нарушаваме определението на N.

Такова множество следователно не можем да построим, което не би трябвало да се случва в една правилна теория на множествата.

Парадоксът на Ръсел има и няколко естествени тълкувания. Например парадоксът на бръснаря. В града има бръснар, който бръсне точно онези хора, които не се бръснат сами. Възниква въпросът: бръсне ли бръснарят сам себе си?

Парадокс на Кантор

Друг парадокс е този на Кантор. Той се опира на факта, че ако имаме множество M, то неговият булеан P(M) (множеството на всички подмножества на множеството M) винаги има по-голяма мощност, по-голямо е. При крайните множества това се вижда от пръв поглед, а за безкрайните множества може лесно да се докаже. Това твърдение се нарича теорема на Кантор.

Самият парадокс е по-прост от предишния. Представи си множеството на всички множества, нека го означим с M. Т.е. за произволно множество N е изпълнено N ∈ M. Но според теоремата на Кантор мощността на булеана P(M) е по-голяма от мощността на M. Това обаче противоречи на това, че M съдържа всички множества – ако множеството P(M) е по-голямо от M, то непременно съдържа елементи, които множеството M не съдържа.