Събиране и изваждане
Събирането и изваждането са най-основните математически действия, от които се нуждаем и в ежедневието. Макар да можем да събираме най-различни обекти, тук ще се занимаем само със събиране на цели числа.
Събиране
Действието събиране се означава със знака плюс +. При събирането събираме събираеми: ако искаме да намерим 2 + 3, и двойката, и тройката се наричат събираеми. Резултатът е сборът, тоест петицата в израза 2 + 3 = 5 е сборът.
Можем да събираме практически всякакви числа – естествени като 1, 5, 157, или отрицателни като -4, -74. Можем да събираме и рационални числа, тоест дроби, реални числа като например π и накрая дори комплексни числа. Можем да събираме и други структури – матрици или вектори.
Събирането обикновено се обяснява с купчина ябълки – ако в кошницата ти има три ябълки и някой ти даде още четири, колко ябълки ще имаш? Ще имаш 3 + 4 = 7.
Как се събират големи числа
Ако ти дам задача да събереш 17 564 и 3272, едва ли ще кажеш резултата веднага наум. Затова се използва или калкулатор, или молив и хартия. Как да въведеш числата в калкулатора, няма да те уча, а ще се съсредоточим върху писменото събиране.
Записваме числата, които искаме да съберем, едно под друго и ги подравняваме вдясно – така, че еднаквите разреди (десетици, стотици, …) да са един под друг. Под двете числа теглим хоризонтална черта. Ето как изглежда:
Сега ще събираме числата, които са едно под друго. Ако сборът на цифрите е по-малък от десет, просто записваме този сбор под чертата. Започваме отдясно, от най-малкия разред. Първо събираме 4 + 2, което е равно на шест. Шестицата е по-малка от десет, затова под чертата записваме числото шест:
Продължаваме нататък и събираме 6 + 7. Това е равно на 13, което вече е по-голямо от десет. Този път под чертата записваме само цифрата на мястото на единиците, тоест записваме тройка (от тринайсетте изваждаме десетицата).
Какво стана с единицата, която отделихме? И какво представлява тя? Сега работим с втората колона отдясно, която в числото представлява десетиците. Всъщност събирахме десетици, тоест събирахме 60 + 70 = 130. Решихме да запазим числото 30, а 100 отложихме за по-късно. За кога? За следващата стъпка, за следващата колона. В следващата стъпка стигаме до събирането на цифрите, които съответстват на стотиците. А ние имаме една стотица в повече, която получихме при събирането на десетиците. Най-просто е да прибавим тази стотица в следващата стъпка.
Така че вместо да събираме 5 + 2, ще съберем 5 + 2 + 1, където единицата представлява стотицата, която получихме при събирането в предишната стъпка. Общият резултат е осем, което е по-малко от десет. Затова под чертата записваме осмица.
В следващата стъпка нямаме хиляда в повече, затова събираме само 7 + 3 = 10. Това число не е по-малко от десет, така че под чертата записваме последната цифра, а единицата е наум. Под чертата записваме нула, а за следващата стъпка запазваме десет хиляди в повече.
В последната колона имаме цифра само в първия ред. Във втория ред си представяме нула и събираме 1 + 0, като не бива да забравим да прибавим единицата от предишната стъпка: 1 + 0 + 1 = 2. Под чертата записваме двойката.
С това алгоритъмът свършва и имаме сбора на числата 17564 + 3272.
Анимация на писменото събиране
В следващите полета можеш да въведеш две естествени числа и после просто да гледаш анимацията на целия процес.
Изобразяване на събирането
Събирането можем да изобразим върху числовата ос. Числовата ос е права, върху която са отбелязани всички числа. Може да изглежда така:
Ако искаме да покажем върху тази числова ос събирането на две числа, например 3+4, ще постъпим така: ще нарисуваме отсечка, която започва от началото, тоест от нулата, и свършва в тройката. При събиране насочваме отсечката надясно от точката, от която сме започнали. Ето така:
Сега върху числовата ос нанасяме четворката. Този път обаче започваме от числото три и оттам водим отсечка надясно с дължина четири. Ето така:
Точката, в която свършва втората, зелената отсечка, е крайният резултат: 3 + 4 = 7.
Изваждане
Изваждането е обратно действие на събирането. Ако към някакво число a прибавиш числото b и после извадиш числото b, ще получиш отново числото a. Процеса ще покажем на примера 158 748 − 99 575. Както при събирането, записваме числата едно под друго:
Под чертата пишем резултата, както при събирането. Започваме отдясно, от най-малките разреди. Първо ще пресметнем единиците. Ако горното число не е по-малко от долното, под чертата записваме разликата горно число − долно число. (Или обратно – ако долното число е по-малко или равно, можем спокойно да изваждаме.) На мястото на единиците горното число не е по-малко, затова записваме разликата 8 − 5 = 3.
Преместваме се с една цифра наляво, стигаме до десетиците. Тук горното число вече е по-малко от долното. Този път към горното число прибавяме десет и изчисляваме по същия начин: горно число + 10 − долно число. Резултатът е 4 + 10 − 7 = 14 − 7 = 7.
При изваждането на десетиците си помогнахме, като добавихме десет десетици, затова трябва да помним това в следващата стъпка. Десет десетици са една стотица, така че в следващата стъпка изваждаме една стотица повече. Това означава, че към долната петица прибавяме единицата от предишната стъпка.
На мястото на стотиците проверяваме дали седмицата (горното число) е по-малка от шестицата (долното число + 1). Не е, така че можем да направим обикновена разлика – горно минус долно. Но и при тази разлика трябва да прибавим единица към долното число, така че получаваме 7 − (5 + 1) = 7 − 5 − 1 = 1.
В следващата стъпка не пренасяме нищо, защото в тази стъпка не ни се наложи да заемаме от по-висок разред. На мястото на хилядите не прибавяме нищо към нищо. Но осмицата в горното число е по-малка от деветката в долното число, така че ще трябва да прибавим десет към горното число. Получаваме разликата 8 + 10 − 9 = 9.
В следващата стъпка пренасяме единица и я прибавяме към долното число. Девет плюс едно е десет, а горната петица е по-малка от десет. Към горното число прибавяме десет и пресмятаме разликата: 5 + 10 − (9 + 1) = 5.
Отново си помогнахме с по-висок разред, затова пренасяме единица в следващата стъпка. Там в долната част липсва число, така че си представяме нула. Като прибавим единицата, получаваме едно. Горното число не е по-малко от долното (сега горното е равно на долното), така че можем просто да извадим: 1 − 1 = 0.
И имаме резултата. Нулата в началото можем да махнем и да запишем: 158 748 − 99 575 = 59 173.
Изобразяване на изваждането
Изваждането, също като събирането, можем да изобразим върху числовата ос. Само че при нанасянето на отсечката сменяме посоката ѝ. Не нанасяме отсечката надясно от текущата точка, а наляво. Ако например трябва да пресметнем 2 − 5, ще постъпим така. Първо върху числовата ос нанасяме двойката в положителна посока, защото двойката е положителна. Изваждаме петицата, тя ще бъде в обратна посока.
Сега върху оста нанасяме втората отсечка, която ще представя минус пет. Започваме от точката, в която сме свършили, тоест от двойката. Отсечката обаче чертаем назад, наляво.
