Защо не може да се дели на нула

Опитай да въведеш в калкулатора 6:0. Калкулаторът ще се разбунтува и вместо резултат ще напише например „Error“ или „E“. Зад това не стоят прищевки на учителите или на производителите на калкулатори. Ще разгледаме няколко причини, поради които на нула не може да се дели, и всички водят до един и същ извод.

Делението е обратно на умножението

Когато пресмятаме 12:3, търсим число, което, умножено с три, дава 12. Такова число е 4, защото

$4 \cdot 3 = 12.$

Значи 12:3 = 4. Така се въвежда делението и всяко частно можем да проверим с умножение.

Сега ще приложим същия подход към нулата. Ако 6:0 беше някакво число x, трябваше да е изпълнено

$x \cdot 0 = 6.$

Но каквото и да умножим с нула, получаваме нула, това знаем от умножението с нула. Каквото и да заместим вместо x – единица, милион или минус три – винаги излиза нула, а шест никога. Такова x просто не съществува, затова частното 6:0 няма никакъв резултат.

Колко пъти се побира нулата?

На делението можем да гледаме и като на многократно изваждане. Частното 12:3 ни казва колко пъти трябва да извадим тройката от дванайсет, докато стигнем до нула:

$12 - 3 - 3 - 3 - 3 = 0$

Тройката се побра четири пъти, така че 12:3 = 4.

При 6:0 обаче бихме изваждали от шестицата само нули. След първото изваждане остава 6, след десетото също 6, след милионното пак 6, само че междувременно ще ни омръзне. До нула никога няма да стигнем, можем да изваждаме безкрайно. Няма брой изваждания, който да може да се запише като резултат.

Какво се случва близо до нулата

На нула не бива да делим, но на числа, много близки до нулата, можем. Да вземем единицата и да я делим на все по-малки числа:

$\begin{array}{rcl} 1 : 1 & = & 1 \\ 1 : 0, 1 & = & 10 \\ 1 : 0, 01 & = & 100 \\ 1 : 0,001 & = & 1000 \end{array}$

Колкото по-малък е делителят, толкова по-голям е резултатът. Делителят 0,000001 вече дава милион и резултатът расте над всякакви граници.

Когато се приближаваме до нулата от отрицателната страна, например 1:(−0,001) = −1000, резултатът става все по-малък и пада към минус безкрайност. Нагледно го показва графиката на функцията $y = \frac{1}{x}$ :

Графика на функцията y=1/x

Отдясно на нулата кривата литва нагоре, отляво на нулата пропада надолу. Отдясно резултатът се приближава към безкрайност, отляво към минус безкрайност – всяка страна ни дърпа в различна посока. Затова и „безкрайност“ не става за резултат от 1:0. Който иска да знае повече, може да погледне статията за едностранната граница, където точно това поведение се записва.

Не може ли просто да кажем, че е безкрайност?

Нека опитаме и да видим какво ще се счупи. Да кажем, че 1:0 = ∞. Същото разсъждение би дало и 2:0 = ∞, защото и двойката, разделена на все по-малки числа, расте над всякакви граници.

Сега ще проверим двете частни с умножение, както в началото. От 1:0 = ∞ следва ∞ · 0 = 1, а от 2:0 = ∞ следва ∞ · 0 = 2. Лявата страна и в двата случая е една и съща, така че трябва да е изпълнено

$1 = 2.$

Това, разбира се, не е вярно. С безкрайността не може да се пресмята като с обикновено число.

Математиците обаче не се страхуват от нови числа. Квадратен корен от минус едно в реалните числа не съществува, затова са въвели ново число i, за което е изпълнено i² = −1. Така са възникнали комплексните числа и събирането, умножението и пресмятането със скоби в тях продължават да работят. При делението на нула това не се получава: каквото и да е новото число, ако за него важат обичайните правила за пресмятане, винаги ще стигнем до нещо като 1 = 2 и самото пресмятане ще се разпадне.

А какво е нула, разделена на нула?

Тук затруднението е обратното. Ако 0:0 = x, трябва да е изпълнено x · 0 = 0. Това уравнение обаче го изпълнява абсолютно всяко число: 5 · 0 = 0, 1 · 0 = 0 и (−7) · 0 = 0. Резултатът не би бил еднозначен, не бихме знаели кое число да изберем, затова и частното 0:0 не го дефинираме. Повече за него ще прочетеш в статията за делението.

Доказателство, че 1 = 2

Делението на нула умее ловко да се скрие. Нека имаме две равни числа a = b, които не са нула, и да правим преобразувания:

$\begin{array}{rcl} a & = & b / \cdot a \\ a^{2} & = & a b / - b^{2} \\ a^{2} - b^{2} & = & a b - b^{2} \end{array}$

Лявата страна разлагаме по формулата a² − b² = (a + b)(a − b), а от дясната изнасяме пред скоби b:

$\begin{array}{rcl} (a + b) (a - b) & = & b (a - b) / : (a - b) \\ a + b & = & b \end{array}$

Тъй като a = b, можем да заместим a с b:

$\begin{array}{rcl} 2 b & = & b / : b \\ 2 & = & 1 \end{array}$

Всяка стъпка изглежда невинно и въпреки това „доказахме“ нелепост. Къде е грешката? Опитай да я откриеш, преди да четеш нататък.

Грешката се крие в делението на израза a − b. Тъй като a = b, то a − b = 0, а значи сме разделили цялото уравнение на нула. Затова при преобразуване на уравнения винаги се внимава дали изразът, на който делим, не може да е нулев. Последното деление на числото b е в ред, защото b не е нула.

Виж също

« Предишна: Деление на числа

Следваща: Многочлени »