✖

Допълване до точен квадрат

С метода на допълване до точен квадрат можем да изразим квадратната функция ax2 + bx + c във вида (x + m)2 + n.

Алгоритъм за допълване до точен квадрат

Алгоритъмът използва класическата формула за повдигане на скоба на квадрат:

(a+b)2=a2+2ab+b2

Постъпваме така. Засега приемаме, че a = 1. Да си представим, че имаме квадратната функция f(x) = x2 + 6x + 1 и искаме да я преобразуваме във вида (x + m)2 + n. Първо определяме стойностите от първата скоба: (x + m)2. Какво число трябва да заместим вместо m? Според формулата трябва да е изпълнено равенството (x + m)2 = x2 + 2mx + m2. Във функцията f имаме x2, това е наред. Но на мястото на линейния член имаме 6x. Каква стойност трябва да изберем за m, за да е изпълнено 6x = 2mx? Очевидно трябва да е изпълнено m = b/2 = 6/2 = 3. Вместо числото m винаги заместваме половината от стойността на числото b от квадратната функция.

Получихме вида (x + 3)2 + n. Остава да определим числото n. Вече знаем, че (x + m)2 = x2 + 2mx + m2. Частта x2 + 2mx е търсената, но изразът m2 ни е в повече, във функцията f няма еквивалент. Затова от сегашния резултат изваждаме m2. Получаваме вида (x + m)2 − m2, което след разкриване на скобите е равно на x2 + 2mx + m2 − m2. След изваждането имаме само x2 + 2mx.

Във функцията f обаче имаме още свободния член c. Него просто го прибавяме. Получаваме вида (x + m)2 − m2 + c, след разкриване на скобите x2 + 2mx + m2 − m2 + c и след опростяване x2 + 2mx + c. Тъй като m = b/2, този израз е равен на x2 + bx + c, т.е. след разкриване на скобите на израза (x + m)2 − m2 + c получаваме обратно първоначалната функция, сметнали сме правилно. (Повтарям, че a = 1, така че никъде не ни липсва.)

За примерната функция f получаваме израз във вида на квадрат (x + 3)2 − 9 + 1 = (x + 3)2 − 8. Можем да опитаме да го разкрием обратно:

(x+3)2−8=x2+6x+9−8=x2+6x+1

Методът на допълване до точен квадрат се използва например когато искаш да нарисуваш графиката на квадратна функция.

Когато a ≠ 1

В случая, когато имаме функция, за която не е изпълнено a = 1, изнасяме пред скоби числото a от целия израз и продължаваме по начина, който вече знаем. Пример:

2x2+16x−12=0

От целия израз изнасяме пред скоби 2:

2⋅(x2+8x−6)=0

Израза в скобите вече умеем да допълним до точен квадрат.

x2+8x−6=(x+4)2−16−6=(x+4)2−22

Този резултат заместваме в предишното уравнение и получаваме:

2⋅(x2+8x−6)=2((x+4)2−22)=2(x+4)2−44