Интервал

Интервалите в математиката се използват много и се срещат във всяко второ определение. Интервалът е множество от точки, ограничено от две крайни точки. Освен това различаваме отворени и затворени интервали.

Основно описание

Интервали използваме и в обикновената реч, например „за грешния цвят на очите си можеш да получиш от Европейския съюз глоба от десет до двадесет хиляди евро“. В примера е използван изразът „от … до …“, но от математическа гледна точка това е интервал. Сега обаче възникват коварни въпроси: можеш ли да получиш глоба точно десет хиляди евро, или крайната стойност на интервала не се брои? Колко фино мога да определям глобата? Мога ли да наложа глоба 18 541,97 евро? Или мога да я определям например само на стъпки от сто евро? Т.е. или 18 500, или 18 600?

Всичко това изяснява математическият запис. При него трябва да кажем две съществени неща: в кое множество се движим (в контекста на примера – стотици? Хиляди? Единици евро?) и дали в интервала попадат и крайните точки (мога ли да получа глоба точно десет или двадесет хиляди?).

Добрата новина е, че в огромното мнозинство от случаите в математиката искаме интервалът да работи с множеството на реалните числа, така че ако попаднеш на интервал без уточнение на множеството, със сигурност става дума за реални числа.

Изходното множество вече имаме, сега как да отбележим дали искаме да вземем предвид крайните точки? Интервалите се записват със скоби. Кръглата скоба означава, че дадената крайна точка не принадлежи на интервала, квадратната скоба означава, че крайната точка принадлежи. Това наричаме отвореност и затвореност. Ако крайната точка принадлежи на интервала, интервалът е затворен, ако не принадлежи, е отворен.

Примери

Следват примери (всички в множеството на реалните числа, освен ако не е казано друго):

• [1; 2]   Затворен интервал от едно до две. В интервала попадат всички реални числа между 1 и 2, включително 1 и 2.
• (1; 2)   Отворен интервал от едно до две. В интервала попадат всички реални числа между 1 и 2, но самите числа едно и две не принадлежат на него.
• [0; 1)   Интервалът е отляво затворен и отдясно отворен. В интервала попадат всички числа между нулата и единицата, включително самата нула, но единицата не принадлежи на интервала.
• (p; q]   Интервалът е отляво отворен и отдясно затворен. В интервала попадат всички числа между числата p и q, включително числото q, но без числото p.
• [0; +∞)   Отляво затворен интервал и отдясно отворен. Ако имаш в интервала безкрайност, от съответната страна използвай отворен интервал – безкрайността няма някаква крайна точка, затворен интервал там няма смисъл.
• [1; 5] ⊂ ℕ   Тук има промяна, не работим с множеството на реалните числа, а с множеството на естествените числа. Интервалът е затворен от двете страни и в дадения интервал има общо пет числа: 1, 2, 3, 4 и 5.
• (1; 5] ⊂ ℕ   Същият случай като преди малко, само че интервалът е отляво отворен и така единицата не принадлежи на интервала, а изброяването на всички елементи на интервала е: 2, 3, 4 и 5.

Интервал като множество

Както се вижда, интервалът не е нищо друго освен подмножество на множеството, върху което е определен. Затова можем да работим с интервалите като с множества и да извършваме с тях операции с множества. Например обединението би могло да изглежда така:

$$[0;5]\cup [5;10]=[0;10]$$

Внимавай при отворените интервали, там равенството не е вярно, защото числото 5 не принадлежи на получения интервал:

$$(0;5)\cup (5;10)\ne (0;10)$$

Правилно би могло да изглежда например така:

$$(0;5)\cup (5;10)=(0;10)-\{5\}$$

Кога да използваме отворен интервал

Разликата между отворен и затворен интервал трябва да се разбере. Често срещан случай на използване на отворен интервал е например дефиниционното множество на логаритъма. Логаритъм можем да използваме с всяко положително реално число, което означава, че не можем да го извикаме нито с отрицателно число, нито с нула. Как да го запишем?

$$D(\ln )=(0;+\mathrm{\infty })$$

Този запис казва, че логаритъм можем да извикаме с колкото и да е малко положително число, но не можем да го извикаме с нула. Така например числото 1 попада в интервала, числото 0,001 също, както и числото 0,0000000001 или 10⁻⁶⁶⁶. Но нулата вече не попада в интервала. Подобно бихме могли да запишем дефиниционното множество на функция с дроб, например обикновената f(x) = 1/x.

$$D(f)=(-\mathrm{\infty };0)\cup (0;+\mathrm{\infty })$$

Това определя множеството на реалните числа без нулата. В нито един от интервалите нулата не е на мястото на затворен край, затова и в полученото обединение нулата няма да има. Можем обаче да използваме колкото и да е малко положително число или колкото и да е голямо отрицателно число (при отрицателните числа е изпълнено, че −0,001 е по-голямо от −0,1, затова „колкото и да е голямо число“, а не „колкото и да е малко число“).

Геометрична интерпретация

Интервалите обикновено изобразяваме върху числовата ос като отсечки, като крайните точки избираме според това дали интервалът е затворен или отворен. Ако интервалът е затворен, кръгчето, което изобразява точката, ще е запълнено, ако е отворен, ще е незапълнено, ще е само контур, само окръжност.

Следващата фигура показва изобразяването на три интервала, всеки от две до шест, но те се различават по затвореността на краищата. Така последователно ще са изобразени тези интервали: [2; 6], (2; 6], (2; 6).