Безкрайност

Безкрайността е абстрактно понятие, което по същество дори не можем да си представим. Самата безкрайност няма край, оттук и името ѝ, но в общия случай безкрайността няма и начало (можем обаче да я уточним, например лъчът също е безкраен, но има начало). Безкрайността обикновено се записва с така наречената „легнала осмица“ – ∞.

Пресмятаме с безкрайности

Безкрайността донякъде прилича на нулата, която също е в много отношения особена и за нея важат особени правила. Например на нула не можеш да делиш, това вероятно знае всяко малко дете (между другото, знаеш ли този виц? Кое е най-доброто извинение, когато нямаш домашно по математика? „Госпожо учителко, случайно започнах да деля на нула и тетрадката ми изгоря…“ ;o)).

Подобно на това, че всичко, умножено по нула, е нула, е изпълнено и че всичко, умножено по безкрайност, или всичко плюс безкрайност е безкрайност. Ако от безкрайността извадиш колкото и да е голямо число, винаги ти остава безкрайност. Същото е и ако се опиташ да разделиш безкрайността. Безкрайността просто е толкова голяма, че дори да изваждаш от нея всяка секунда по милиони, пак винаги ти остава безкрайност. Понякога е малко трудно за разбиране, например да вземем равенството ∞ + 1 = ∞. Вярно ли е, или не?

Логиката ни казва, че лявата страна на равенството е по-голяма, просто ако към безкрайността прибавиш единица, целият този израз трябва да е по-голям от самата безкрайност. Не е задължително :-). Както вече казах, безкрайност плюс всичко е безкрайност. Т.е. безкрайност плюс едно е безкрайност и безкрайността е равна на безкрайността. Равенството е вярно.

До това може да се стигне и по друг начин – чрез граници. Нека сега имаме дробта 1/x и да пресметнем границата отдясно при x→0⁺ и да допуснем, че тетрадката ни не е изгоряла. Тази граница би била равна на безкрайност. Ако към този израз прибавиш единица, ще имаш израза (1+x)/x и границата при x→0⁺ отново би била безкрайност.

Забавното започва, когато започнем да комбинираме повече безкрайности. Например на какво е равен изразът безкрайност минус безкрайност? Логиката ни казва, че изваждаме две еднакви по големина числа, така че резултатът ще е нула. Казах също, че ако от безкрайността извадим което и да е число, резултатът пак е безкрайност. Обратно, ако от което и да е число извадим безкрайност, получаваме минус безкрайност. И как да се оправим сега? Всички резултати са теоретично възможни. Математиката казва, че изразът ∞ −∞ не е равен на нищо конкретно, той е неопределен израз. Подобен е на случая, когато се опитваш да делиш на нула, просто няма смисъл. Ако попаднеш на такъв неопределен израз, трябва по някакъв начин да преобразуваш израза (при някои видове неопределености може да се използва например правилото на Лопитал).

Други неопределени изрази:

• ∞ − ∞
• ∞/∞
• 0/0
• 0 · ∞
• 0⁰
• ∞⁰
• 1^∞

Между другото обаче са в сила основните правила за знаците, например −1 · ∞ е равно на минус безкрайност.

Искаш ли да откачиш?

Тогава се захвани с теорията на множествата и пресметни кое множество е по-голямо. Например по-голямо ли е множеството на четните числа, или на нечетните? На четните, или на естествените? На естествените, или на целите? На четните, или на целите? На естествените, или на рационалните? Отговорът е, че всички са еднакво големи. Макар да изглежда странно (целите числа трябва да са повече от нечетните, нали), това са еднакво големи множества. Затова пък множеството на реалните числа е по-голямо от споменатите множества. Дявол да го разбере ;-)