Алгебрични числа

Число, което е корен на някакъв многочлен с целочислени коефициенти, наричаме алгебрично число. Какво означава това в действителност? Можем да вземем което и да е число и да изиграем с него една математическа игра. Целта на играта е да вземем някакво число x и да го сведем до нула, като при това можем да използваме само операциите събиране, изваждане, умножение и степенуване и можем да използваме само цели числа. С примери ще е по-ясно.

Вземаме за начало числото 42. Как да го преобразуваме, за да получим нула? Можем да извадим от него цялото число 42 и получаваме нула (умножение по нула не е позволено):

$42 - 42 = 0$

Тъй като успяхме да сведем числото 42 до нула, числото 42 е алгебрично. Това беше доста тривиално. Ами някоя дроб, например $\frac{7}{3}$ ? Тъй като можем да работим само с цели числа, не можем да извадим от тази дроб $\frac{7}{3}$ , за да получим нула. Трябва да се справим по друг начин. Първо умножаваме дробта по три:

$3 \cdot \frac{7}{3} = \frac{3 \cdot 7}{3} = 7$

Получихме цяло число, а него вече умеем да сведем до нула: изваждаме седем. Така можем да запишем

$3 \cdot \frac{7}{3} - 7 = 0$

и можем да кажем, че дробта седем трети също е алгебрично число. Да вземем още по-сложно число, квадратния корен от две: $\sqrt{2}$ . Никакво умножение или събиране няма да ни помогне, първо трябва да се освободим от корена. Повдигаме израза на квадрат:

${(\sqrt{2})}^{2} = 2$

Получихме цяло число, което умеем да сведем до нула, изваждаме две:

${(\sqrt{2})}^{2} - 2 = 0$

Дори квадратният корен от две, който е ирационално число, е алгебрично число. Засега изглежда, че всяко число, което опитаме, е алгебрично. Ами например числото на Ойлер e? То също е ирационално, т.е. има безкраен десетичен запис без повторение, подобно на квадратния корен от две. Приблизителната му стойност е 2,71. За разлика от квадратния корен от две обаче не съществува начин да го сведем до нула с операциите, които си позволихме. Каквото и да прибавим към числото на Ойлер, с каквото и да го умножим или в каквато и степен да го повдигнем, винаги получаваме поредното ирационално число. Затова числото на Ойлер не е алгебрично число, ура!

Също така не е алгебрично числото Пи, числото на Лудолф (3,14).

Числата, които не са алгебрични, наричаме трансцендентни.

По-точно определение

За всяко алгебрично число следователно трябва да съществува полином (многочлен) с целочислени коефициенти, чийто корен е именно това алгебрично число. Корен на полином е числото, при което полиномът е равен на нула. Ако се върнем към примерите по-горе, за числото 42 бихме получили уравнението

$x - 42 = 0$

и тъй като коренът на многочлена x − 42 е именно x = 42, това означава, че 42 е алгебрично число. За рационалното число $\frac{7}{3}$ уравнението би било

$3 x - 7 = 0$

защото коренът на многочлена 3x − 7 е именно $x = \frac{7}{3}$ . И накрая за квадратния корен от две бихме получили

$x^{2} - 2 = 0$

защото корен на полинома x² − 2 е именно квадратният корен от две. За числото на Ойлер или за Пи не можем да съставим никакво такова уравнение или полином, защото те са трансцендентни числа, а не алгебрични.

Примери за алгебрични числа

Всяко цяло число е и алгебрично.
Всяко рационално число (дроб) е алгебрично.
Ирационалните числа са по-сложни. Както видяхме, някои ирационални числа са алгебрични, например квадратният корен от две, но някои не са, като числото на Ойлер.
Всеки корен от n-та степен от цяло число е алгебричен.
Златното сечение е алгебрично число.

Връзки и източници

« Предишна: Реални числа

Следваща: Комплексни числа »